Gewöhnliche Differenzengleichungen im Originalraum

Zusammenfassung

Ist ω eine reelle oder komplexe Zahl, so heisst

$$ z\left( {x + \omega } \right) - z\left( x \right) = \mathop \Delta \limits_\omega z\left( x \right) $$

die erste Differenz oder Differenz erster Ordnung der Funktion z(x). Die Zahl co heisst die Spanne der Differenz. Durch Iterierung des Prozesses der Differenzenbildung kann man bei zwei gegebenen Spannen ω ₁, ω ₂ die zweite Differenz

$$ \mathop {{\Delta ^2}}\limits_{{\omega _1},{\omega _2}} z\left( x \right) = \mathop \Delta \limits_{{\omega _1}} \left( {\mathop \Delta \limits_{{\omega _1}} z\left( x \right)} \right) = \mathop \Delta \limits_{{\omega _1}} z(x + {\omega _2}) - \mathop \Delta \limits_{{\omega _1}} z(x) = z(x + {\omega _1} + {\omega _2}) - z(x + {\omega _1}) + z(x) = \mathop \Delta \limits_{{\omega _1}} (\mathop \Delta \limits_{{\omega _1}} z(x)) $$

bilden, allgemein bei n gegebenen Spannen ω ₁,..., ω_n die n-te Differenz

$$ \mathop \Delta \limits_{{\omega _1},...{\omega _n}} z(x) = \mathop \Delta \limits_{{\omega _n}} (\mathop \Delta \limits_{{\omega _1},...{\omega _{n - 1}}} z(x)) $$

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