Zusammenfassung
In der vorliegenden Arbeit verallgemeinere ich meine für die Fouriersche Reihe gefundenen Resultate auf die Laplacesche Reihe.
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Referenzen
In bezug auf die Literatur verweise ich auf die Encyklopädie der Mathematischen Wissenschaften, Bd. II 1, Heft 5: Theorie der Kugelfunktionen etc. von A. Wangerin.
Diese Arbeit ist ein (umgearbeiteter und erweiterter) Teil einer in ungarischer Sprache geschriebenen Abhandlung, die am 6. April 1908 der Ungarischen Akademie der Wissenschaften vorgelegt wurde. Eine kurze Zusammenfassung habe ich in den Comptes rendus (3 février 1908) veröffentlicht.
Comptes rendus, 1900, 2e semestre; Math. Annalen Bd. 58, 1904.
Im § 7 werde ich zeigen, daß die Hölderfolgen nullter und erster Ordnung diese Eigenschaften der s’n(y) nicht besitzen.
Diese Identität hat, ungefähr zur gleichen Zeit mit mir, auch Bromwich gefunden. S. Math. Annalen, Bd. 65, pag. 265.
Das letzte Ergebnis folgt auch aus einem allgemeinen Satz von W. Schnee, demzufolge die Hölderschen und Cesàroschen Grenzwerte aller Ordnungen einander gleich sind. (Math. Annalen, Bd. 67.)
Das Theorem ist auch gültig für das Cesàrosche Mittel zweiter Ordnung. Mir erscheinen aber die Hölderschen Mittel insofern interessanter, als sie durch mechanische Wiederholung des einfachen, anschaulichen und allgemein wichtigen Prinzips des gewöhnlichen arithmetischen Mittels — ohne irgendwelche rechnerische Willkürlichkeit — entstehen. Unstreitig sind aber die Hölderschen Mittel höherer Ordnung praktisch schwerer zu berechnen als die Cesàroschen.
Math. Annalen, Bd. 58, pag. 59, Hauptsatz.
Der Beweis wird in § 6 gegeben.
Diese Entwicklung gibt schon Franz Neumann in seinem Buche »Beiträge zur Theorie der Kugelfunktionen«, (1878), pag. 133, ohne aber die Konvergenzfragen zu erörtern.
Hier ist zwar eine beliebig kleine positive Größe. Aber mit abnehmendem s muß n vergrößert werden.
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© 1970 Springer Basel AG
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Turán, P. (1970). Über die Laplacesche Reihe. In: Leopold Fejér Gesammelte Arbeiten I. Birkhäuser, Basel. https://doi.org/10.1007/978-3-0348-5902-8_32
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DOI: https://doi.org/10.1007/978-3-0348-5902-8_32
Publisher Name: Birkhäuser, Basel
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