Abstract
It is well-known that among all plane domains of given area the circle has the smallest circumference.
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References
Ahlfors, L.: Geodesic curvature and area, Studies in Mathematical Analysis and Related Topics, Essays in Honor of G. Pólya. Stanford University Press (1962), 1–7.
Alexandrow, A.D.: Die innere Geometrie der konvexen Flächen. Berlin (1955).
Bandle, C.: Konstruktion isoperimetrischer Ungleichungen der mathematischen Physik aus solchen der Geometrie, Comment. Math. Helv. 46 (1971), 182–213.
Bandle, C.: Extremaleigenschaften von Kreissektoren und Halbkugeln, Comment. Math. Helv. 46 (1971), 356–380.
Bandle, C.: A generalization of the method of interior parallels, and isoperimetric inequalities for membranes with partially free boundaries, J. Math. Anal. Appl. 39 (1972), 166–176.
Bandle, C.: A geometrical isoperimetric inequality and applications to problems of mathematical physics, Comment. Math. Helv. 49 (1974), 496–511.
Bandle, C.: Bounds for the Solutions of Poisson Problems and Applications to Nonlinear Eigenvalue Problems, SIAM J. Math. Anal. 6 (1975), 146–152.
Bandle, C.: On a differential inequality and its applications to geometry, Math. Z. 147 (1976), 253–261.
Bandle, C.: Isoperimetric inequalities and applications, Pitman Publ. London (1980).
Ba8] Bandle, C.: Isoperimetric Inequalities, to appear in the Encyclopedia of Systems and Control, Pergamon Press.
Beckenbach, E.F. and Radò, T.: Subharmonic functions and surfaces of negative curvature, Trans. Amer. Soc. 35 (1933), 662–674.
Benson, D.C.: Sharpened Forms of the Plane Isoperimetric Inequality, Amer. Math. Monthly 77 (1970), 29–34.
Ber-Me] Bérard, P. and Meyer D.: Inégalités isopérimetriques et applications, preprint C.N.R.S. 212.
Berger, M. and Bérard, P.: Le spectre d’une variété Riemannienne en 1981. Preprint
Berger, M., Gauduchon, P. and Mazet, E.: Le spectre d’une vatiété Riemannienne, Springer Lecture Notes 194 (1971).
Bernstein, F.: Über die isoperimetrische Eigenschaft des Kreises auf der Kugeloberfläche und in der Ebene, Math. Ann. 60 (1905), 117–136.
Blaschke, W.: Kreis und Kugel, Leipzig 1916.
Bokowski, J.: Eine verschärfte Ungleichung zwischen Volumen, Oberfläche und Inkugelradius im 111“. El. Math. 28 (1973), 43–44.
Bokowski, J.: Ungleichungen für den Inhalt von Trennflächen, Archiv der Mathematik 34 (1980), 84–89
Bol, G.: Isoperimetrische Ungleichung für Bereiche auf Flächen. Jahresber. Deutsche Math. Verein. 51 (1941).
Bonnesen, F.: Les problemes des isopérimetres et des isépiphanes, Gauthier-Villars, Paris 1929.
Bonnesen, F. and Fenchel, W.: Theorie der konvexen Körper, Springer 1934.
Caratheodory, C. and Study, E.: Zwei Beweise des Satzes, daß der Kreis unter allen Figuren gleichen Umfangs den größten Inhalt hat, Math. Ann. 68 (1909), 133–140.
Chavel, I. and Feldman, E.A.: Isoperimetric inequalities on curved surfaces, Advances Math. 37 (1980), 83–98.
Faber, C.: Beweis, daß unter allen homogenen Membranen von gleicher Fläche und gleicher Spannung die kreisförmige den tiefsten Grundton gibt, Sitzungsberichte Bayer. Akad. der Wiss. Math. Physik (1923), 169–172.
Fejes Toth, L.: Lagerungen in der Ebene, auf der Kugel und im Raum. Die Grundlehren der math. Wissenschaften, 65 (1972) Springer Berlin.
Fiala, F.: Le problème des isopérimètres sur les surfaces ouvertes à courbure positive. Comment. Math, Heiv. 13 (1940/41), 293–346.
Gasser, T. and Hersch, J.: Über Eigenfrequenzen einer mehrfach zusammenhängenden Membran: Erweiterung von isoperimetrischen Sätzen von Pólya und Szegö, ZAMP 19 (1968), 672–675.
Hadwiger, H.: Vorlesungen über Inhalt, Oberfläche und Isoperimetrie, Springer 1957.
Hartman, P.: Geodesic parallel coordinates in the large, Amer. Math. 86 (1964), 705–727.
Hersch, J.: Sur la fréquence fondamentale d’une membrane vibrante: évaluations par défaut et principe du maximum, ZAMP 11 (1960), 387–413.
Hersch, J.: On symmetric membranes and conformal radius: some complements to Pólya’s and Szegö’s inequalities, Arch. Mech. Anal. 20 (1965), 378–390.
Hersch, J.: Quatre propriétés isopérimétriques de membranes sphériques homogenes, C.R. Acad. Sci. Paris A270 (1970), 1645–1648.
Huber, A.: On the isoperimetric inequality on surfaces of variable Gaussian curvature, Ann. Math. 60 (1954), 237–247.
Huber, A.: On an inequality of Fejer and Riesz, Annals Math. 63 (1956), 572–587.
Huber, A.: On subharmonic functions and differential geometry in the large, Comment. Math. HeIv. 32 (1957), 13–72.
Klingenberg, W.: Contributions to Riemannian Geometry in the Large, Ann. Math. 69 (1959), 654–666.
Krahn, E.: Über eine von Rayleigh formulierte Minimaleigenschaft des Kreises, Math. Ann. 94 (1925), 97–100.
Makai, E.: Bounds for the principal frequency of a membrane and the torsional rigidity of a beam, Acta Sci. Math. (Szeged) 20 (1959), 33–35.
Nehari, L.: On the principal frequency of a membrane, Pac. J. Math. 8 (1958), 285–293.
Osserman, R.: The Isoperimetric Inequality, Bull. Amer. Math. Soc. 84 (1978), 1182–1238.
Osserman, R.: Isoperimetric inequalities and eigenvalues of the Laplacian, Proceedings of the International Congress of Mathematicians, Helsinki (1978).
Osserman, R.: Bonnesen-Style Isoperimetric Inequalities, Amer. Math. Monthly, 86 (1979), 1–29.
Payne, L.E.: Some isoperimetric inequalities in the torsion problem for multiply connected regions, Studies in Mathematical Analysis and Related Topics: Essays in honor of G. Pólya, Stanford University Press (1962), 270–280.
Payne, L.E.: Isoperimetric Inequalities and Their Applications, SIAM Review 9 (1967), 453488.
Peetre, J.: A generalization of Courant’s nodal line theorem, Math. Scand. 5 (1957), 15–20.
Peetre, J.: Estimates for the number of nodal domains, Proc. Thirteenth Congress Math. Scand. (1957), 198–201.
Pólya, G.: Two more inequalities between physical and geometrical quantities, J. Indian Math. Soc. 24 (1960), 413–419.
Pólya, G. and Schiffer, M.: Convexity of functionals by transplantation, J. d’ Anal. Math. 3 (1954), 245–345.
Pólya, G. and Szegö, G.: Isoperimetric inequalities in mathematical physics, Princeton (1951).
Ra] Lord Rayleigh: The Theory of Sound, London 1894/96.
Schaeffer, P.W. and Sperb, R.P.: Maximum principles and bounds in some inhomog- eneous elliptic boundary value problems, SIAM J. Math. Anal. 8 (1977), 871–878.
Schaeffer, P.W. and Sperb, R.P.: Corrigendum and Addendum: Maximum principles and bounds in some inhomogeneous elliptic boundary value problems, SIAM J. Math. Anal. 10 (1979), 1326.
Schmidt, E.: Über das isoperimetrische Problem im Raum von n Dimensionen. Math. Z. 44 (1939), 689–788.
Schmidt, E.: Über die isoperimetrische Aufgabe im n-dimensionalen Raum konstanter negativer Krümmung. I Die isoperimetrischen Ungleichungen in der hyperbolischen Ebene und für Rotationskörper im n-dimensionalen hyperbolischen Raum, Math. Z. 46 (1940), 204–230.
Schmidt, E.: Über eine neue Methode zur Behandlung einer Klasse isoperimetrischer Aufgaben im Grossen, Math. Z. 47 (1942), 489–642.
Schmidt, E.: Der Brunn-Minkowskische Satz und sein Spiegeltheorem sowie die isoperimetrische Eigenschaft der Kugel in der euklidischen und hyperbolischen Geometrie. Math. Nachr. 1 (1948), 81–157.
Schwarz, H.A.: Beweis des Satzes, daß die Kugel kleinere Oberfläche besitzt als jeder andere Körper gleichen Volumens. Gesammelte Abhandlungen 2 Springer 1980, 327–340.
Sperb, R.P.: Maximum principles and their applications, Acad. Press (1981).
Steiner, J.: Gesammelte Werke, Berlin 1882.
Szegö, G.: Inequalities for certain eigenvalues of a membrane of given area, J. Rat. Mech. Anal. 3 (1954), 343–356.
B. Sz.-Nagy: Über Parallelmengen nicht-konvexer ebener Bereiche, Acta Math. Univ. Szeged 20 (1959), 36–47.
Talenti, G.: Elliptic Equations and Rearrangements, Annali Scuola Norm. Pisa 3 (1976), 697–718.
Weinberger, H.F.: Symmetrization in uniformly elliptic problems, Studies in Mathematical Analysis and Related Topics: Essays in honor of G. Pólya, Stanford University Press (1962), 424–428.
Weinberger, H.F.: An isoperimetric.inequality for the N-dimensional free membrane problem, J. Rat. Mech. Anal. 5 (1956), 533–536.
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Bandle, C. (1983). Isoperimetric inequalities. In: Gruber, P.M., Wills, J.M. (eds) Convexity and Its Applications. Birkhäuser, Basel. https://doi.org/10.1007/978-3-0348-5858-8_2
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