Zusammenfassung
Nachdem wir nun eine Stichprobe nach den soeben geschilderten Prinzipien der interessierenden Grundgesamtheit entnommen haben, müssen wir versuchen, die in dieser Stichprobe enthaltenen Informationen möglichst vollständig zu verarbeiten, um “gute” Schätzwerte für die unbekannten Parameter zu erhalten. Bevor wir uns Gedanken darüber machen, auf welche Art und Weise solche Schätzwerte für die unbekannten Parameter gewonnen werden können, wollen wir zunächst einmal klären, welche Eigenschaften die Güte eines Schätzers ausmachen.
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Referenzen
Vgl. S. 151, Kapitel 5 von Wahrscheinlichkeitsrechnung, Band 1
Diesen speziellen Ereignissen liegen stetige Wahrscheinlichkeitsverteilungen zugrunde. (Vgl. hierzu Kapitel 5 von Band l, insbesondere Bemerkung 5.22)
In der Literatur wird L(θ,A)=Pθ(A) oft als die Likelihoodfunktion bezeichnet und ℓnL(θ,A) = ℓnPθ(A) wird dann als logarithmische Likelihoodfunktion geführt.
Man beachte, daß p aufgrund der Realisationen von n unabhängigen zweipunkt-verteilten Zufallsvariablen geschätzt wird.
Man beachte, daß beide Parameter unbekannt sind.
Dies ist nicht unsere ursprüngliche Auffassung einer Stichprobe mit identisch verteilten und voneinander unabhängigen Komponenten.
Allgemein kann gesagt werden, daß, falls zwei Likelihoodfunktionen proportional zueinander sind, sich dieselben Maximumlikelihoodschätzer ergeben, denn L(θ,A)=αL(θ,B), α ∊ℝ+ ⇒ ∃ streng monoton wachsende, stetige Funktionen g, h: ℝ →ℝ, so daß L(θ,A):=g(Pθ (A))=h(Pθ (B)) =L(θ,B).
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Heller, WD., Lindenberg, H., Nuske, M., Schriever, KH. (1980). Schätzen von Parametern. In: Schliessende Statistik. Birkhäuser, Basel. https://doi.org/10.1007/978-3-0348-5816-8_2
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DOI: https://doi.org/10.1007/978-3-0348-5816-8_2
Publisher Name: Birkhäuser, Basel
Print ISBN: 978-3-7643-1136-0
Online ISBN: 978-3-0348-5816-8
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