Das Balayage-Prinzip für Allgemeine Randwert-Probleme

Zusammenfassung

In diesem Kapitel werden wir zeigen, daß das Balayage-Prinzip für allgemeine Differential-Operatoren und allgemeine Randbedingungen formuliert werden kann, sobald gewisse a priori-Abschätzungen vorliegen, d. h. wenn das Randwert-Problem korrekt gestellt ist bezüglich passend gewählter Topologien im Raum der Lösungen und im Raum der Randwerte. Die Betrachtungen zu dieser Problematik bestehen teilweise in der Formulierung allgemeiner Aussagen, die im Spezialfall weiter verfolgt werden können. In diesem Zusammenhang weisen wir auch auf eine Reihe noch nicht bearbeiteter Fragestellungen hin. Unser Balayage-Prinzip hängt eng mit einem entsprechenden Begriff in dem Buch von L. Ehrenpreis [(E 4)] zusammen. Interessant ist diese Betrachtungsweise deshalb, weil man nicht nur Kapazitätsbegriffe und Potentiale (bezüglich gewisser Distributionen) mit dem jeweiligen Randwert-Problem verbinden kann (analog zu elliptischen Gleichungen), sondern weil sich auch allgemeine Mittelwert-Sätze interpretieren lassen. Dabei besteht ein inverses Problem ähnlich wie beim Laplace-Operator. Zu den einbezogenen Problemstellungen gehört auch das Cauchy-Problem bei hyperbolischen Gleichungen, wofür wir die allgemeinen Resultate noch einmal getrennt formulieren. Der Einfachheit halber beschränken wir uns auf skalare Differentialoperatoren mit konstanten Koeffizienten. Wir definieren zunächst geeignete Räume, die dem Balayage-Prinzip zugrundeliegen. Diese Definition ist durchaus nicht zwangsläufig. Kernfrei wird das Balayage-Prinzip immer dann genannt, wenn es durch Bildung des Adjungierten eines gewissen Operators auf diesen Räumen entsteht, ohne Verwendung irgendwelcher Kerne. Zum vorliegenden Kapitel verdanken wir Frau Dr. A. M. Säding (Rostock) einige nützliche Bemerkungen.