Charakteristische Funktionen

Zusammenfassung

Zunächst bemerken wir, daß wir neben reellwertigen Zufallsgrößen ξ(ω) auch komplexwertige Zufallsgrößen untersuchen können. Eine komplexwertige Zufallsgröße fassen wir als Funktion ξ₁(ω) + iξ₂(ω) auf, wobei (ξ₁, ξ₂) ein zufälliger Vektor ist. Es ist natürlich, M (ξ₁ + ξ₂) = Mξ₁ + iMξ₂ zu setzen. Die komplexwertigen Zufallsgrößen ξ = ξ₁ + iξ₂ und η ₁ + i η ₂ heißen unabhängig, wenn die Vektoren (ξ₁, ξ₂) und (η ₁ η ₂), d. h. die von ihnen erzeugten σ-Algebren σ(ξ₁,ξ₂) beziehungsweise σ(η ₁, η ₂) unabhängig sind. Ohne Mühe kann man beweisen, daß für solche Zufallsgrößen gilt

$$M\xi \eta = M\xi \cdot M\eta .$$