Partielle Differentialgleichungen

Zusammenfassung

Die hybriden Lösungstechniken für partielle Differentialgleichungen wurden im wesentlichen im letzten Jahrzehnt entwickelt. Die klassischen analogen Lösungsverfahren, die in den fünfziger Jahren weit verbreitet waren, genügten den wachsenden Genauigkeitsansprüchen nicht mehr, ließ sich doch bei ihnen die Genauigkeit nur über die Zahl der analogen Komponenten erhöhen. Insbesondere die Reaktorsimulationen stellten hier hohe Anforderungen und gaben Anlaß, echte hybride Lösungsverfahren zu suchen. Die Theorie und Praxis dieser Verfahren ist nicht ganz unproblematisch, so daß sich einmal mehr die Frage stellt, ob nicht mittlerweile digitale Lösungsverfahren adäquater sind. Wenn man eine partielle Differentialgleichung oder ein System partieller Differentialgleichungen ein- oder wenige Male lösen will, ist der Digitalrechner zweifelsohne vorzuziehen. Anders ist es — und das ist z. B. bei der Reaktorsimulation der Normalfall — wenn man Hunderte oder Tausende von Rechenläufen durchführen muß. Hier kann ein Hybridsystem etwa zehn-bis hundertmal kostengünstiger arbeiten als ein Digitalrechner allein. Da sich die hybriden Lösungsverfahren vornehmlich mit den Typen von partiellen Differentialgleichungen beschäftigen, die für die Reaktorsimulation von Bedeutung sind, gibt Abb. 16.1., Vichnevetsky (1968) folgend, einen Überblick an welcher Stelle eines Reaktors welche Typen von partiellen Differentialgleichungen auftreten. Hierbei ist stets die Zeit t eine der unabhängigen Veränderlichen, man beschäftigt sich also fast ausschließlich mit Einschwing- und Ausbreitungsvorgängen, d. h. mit parabolischen und hyperbolischen Differentialgleichungen.