Funktionentheorie

Zusammenfassung

Eine komplexe Zahl z ∈ C ₁ kann man als z = x + iy (Normaldarstellung aus 1.2.4.) oder als z = re^iφ (Polarkoordinatendarstellung aus 5.2.4.) schreiben. Für die folgen den Betrachtungen ist es zweckmäßig, C ₁ durch einen unendlich fernen Punkt abzu schließen. Hierzu denken wir uns eine Kugel auf der Zahlenebene C ₁, die C ₁ im Punkt 0 berührt. Ist dieser Berührungspunkt der Südpol, so zeichnen wir vom Nordpol aus einen Strahl zum Punkt z ∈ C ₁ der die Kugel im Punkt ζ durchstößt. Die Zuordnung ist eineindeutig: Jedem ζ auf der Kugel mit Ausnahme des Nordpols entspricht genau ein z ∈ C ₁ Das Verfahren heißt stereographische Projektion, und die Kugel nennt man Riemannsche Zahlenkugel. Man schließt jetzt diese Zahlen kugel ab, indem man den Nordpol hinzunimmt. In der z-Ebene ordnet man bei der stereographischen Projektion dem Nordpol den Punkt ∞ zu und schreibt C=C ₁ ∪ ∪{∞} (Abschluß der komplexen Ebene C ₁ durch den unendlich fernen Punkt ∞).