Zusammenfassung
Betrachtet man den Modul k des elliptischen Integrals erster Gattung als Funktion des Periodenverhältnisses ω, so ist bekanntlich eine Haupteigenschaft dieser Funktion in dem folgenden Satze ausgesprochen:
„Zwischen den Werten k(ω) und k(ω1) besteht eine algebraische Gleichung, wenn die Argumente ω und ω 1 eine Relation der Gestalt
$$a\omega {\omega _1} + b\omega + c{\omega _1} + d = 0$$befriedigen, wo a, b, c, d ganze Zahlen sind, deren Determinante ad — bc positiv ausfällt.“ 1)
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Referenzen
Der Modul k tritt hier und im folgenden nur als Repräsentant einer ganzen Funktionsklasse, nämlich der endlichwertigen Modulfunktionen von endlichem Index auf. Es ist nur der konkreteren Dar3telhmgsweise halber, dass ich mich auf die Betrachtung des Moduls beschränke, eine Beschränkung, die übrigens bei den anzustellenden Untersuchungen um so weniger verschlägt, als jede andere Funktion der genannten Klasse von Transzendenten eine algebraische Funktion des Moduls ist.
Es ist dieses dieselbe Aufgabe, auf welche ich gelegentlich hingewiesen habe ; fvergl. Mathem. Annalen, Bd. 18 (1881), S. 566 oder diese Werke, Bd. I, S. 40].
Siehe Klein, Über die Transformation der elliptischen Funktionen und die Auflösung der Gleichungen fünften Grades, Mathem. Annalen, Bd. 14 (1878/79), S. 122–124; [Ges. Abhandlungen, Bd. III, S. 24–26].
Vergl. loc. cit.1), Klein.
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Hurwitz, A. (1932). Zur Transformationstheorie der elliptischen Funktionen. In: Mathematische Werke. Springer, Basel. https://doi.org/10.1007/978-3-0348-4161-0_2
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