Zusammenfassung
Jacobi hat mit Hilfe von Formeln aus der Theorie der elliptischen Punktionen gezeigt, dass die Funktion
einer algebraischen Differentialgleichung dritter Ordnung genügt, von welcher zugleich ϑ 2(0) und ϑ 0(0) Lösungen sind1). In den folgenden Zeilen möchte ich nachweisen, dass diese Differentialgleichung nur ein Beispiel eines allgemeinen Satzes bildet, welcher der Theorie der Funktionen mit linearen Transformationen in sich angehört.
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Referenzen
Jacobi, Crelles Journal, Bd. 36 (1848), S. 97–112, [Ges. Werke, Bd. 2, S. 171–190.]
Poincaré, Théorie des groupes fuchsiens und Mémoire sur les fonctions fuchsiennes, Acta Mathematica, vol. 1 (1882), p. 1–62 und 193–294, [Oeuvres, vol. II, p. 108–168 et 169–257]; Klein, Neue Beiträge zur Riemann’schen Funktionentheorie, Mathem.Annalen, Bd. 21 (1882/83), S.141–218. [Ges. Abhandlungen, Bd. III, S. 630–710.]
Dieser Schluss ist bei ähnlichen Untersuchungen schon mehrfach angewendet worden. Vergl. z. B. Fuchs, Über die linearen Differentialgleichungen zweiter Ordnung, welche algebraische Integrale besitzen, Crelles Journal, Bd. 81 (1876), S. 97–142u. Bd. 85, (1878), S. 1–25. Klein, Über Multiplikatorgleichungen, Mathem. Annalen, Bd. 15 (1878/79), S. 86–88. [Ges. Abhandlungen, Bd. III, S. 137–139.]
Vergl. Frobenius und Stickelberger, Über die Differentiation der elliptischen Punktionen nach den Perioden und Invarianten, Crelles Journal, Bd. 92 (1882), S. 311–327, insbes. S. 321.
Vergl. H. A. Schwarz, Über diejenigen Fälle, in welchen die Gaussische hypergeometrische Reihe eine algebraische Funktion ihres vierten Elementes darstellt, Crelles Journal, Bd. 75 (1872), S. 292–335, [Ges. Abhandlungen, Bd. II, S. 211–259].
Klein, Über Multiplikatorgleichungen, Mathem. Annalen, Bd. 15 (1878/79), S. 86–88, [Ges. Abhandlungen, Bd. III, S. 137–139].
Klein, Über Multiplikatorgleichungen, Mathem. Annalen, Bd. 15 (1878/79), S. 86–88. [Ges. Abhandlungen, Bd. III, S. 137–139.]
Frobenius und Stickelberger, a. a. O. S. 322.
Dedekind, Schreiben an Herrn Borchardt über die Theorie der elliptischen Modulfunktionen, Crelles Journal, Bd. 83 (1877), S. 265–292, insbes. S. 280.
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Hurwitz, A. (1932). Über die Differentialgleichungen dritter Ordnung, welchen die Formen mit linearen Transformationen in sich genügen. In: Mathematische Werke. Springer, Basel. https://doi.org/10.1007/978-3-0348-4161-0_15
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