Über die Nullstellen der Bessel’schen Funktion

Zusammenfassung

Diejenigen Werte des Argumentes z, für welche die Bessel’sche Transzendente

$${J_n}(z) = {\left( {\frac{z}{2}} \right)^n}\left[ {\frac{1}{{\Gamma (n + 1)\Gamma (1)}} - \frac{{{{\left( {\frac{z}{2}} \right)}^2}}}{{\Gamma (n + 2)\Gamma (2)}} + - ... + \frac{{{{( - 1)}^r}{{\left( {\frac{z}{2}} \right)}^{2r}}}}{{\Gamma (n + r + 1)\Gamma (r + 1)}} - ...} \right]$$

((1))

verschwindet, spielen bekanntlich in vielen mathematisch-physikalischen Untersuchungen eine wichtige Rolle. Man weiss von diesen Nullwerten, dass sie sämtlich reell sind, wenn der Index n einen reellen Wert besitzt, welcher nicht kleiner als — 1 ist. Den Beweis dieses Satzes pflegt man nach Pois son’s Vorgang auf eine Integralformel zu gründen (vergl. unten § 7), die auch sonst in der Theorie der Bessel’schen Funktionen von Wichtigkeit ist¹). Herr Schläfli hat aus einer ähnlichen Formel eine weitere Eigenschaft jener Nullwerte gefolgert²). Betrachtet man nämlich den einzelnen Nullwert als Funktion ψ(n) des Index n, so wächst ψ(n) beständig, wenn n von Null ausgehend die reellen positiven Werte durchläuft. Endlich ist noch zu bemerken, dass man die Existenz von unendlich vielen Wurzeln der Gleichung J ⁿ(z) = 0 aus dem asymptotischen Wert von J ⁿ(z) für unendlich grosse Werte von z geschlossen hat³).