Über die algebraische Darstellung der Normgebilde

Zusammenfassung

In der Abhandlung „Über die Theorie der algebraischen Formen“¹) betrachtet Herr Hilbert als Beispiel für einige seiner grundlegenden algebraischen Sätze unter anderem die durch die Gleichungen

$${x_0} = \xi _1^3,{x_1} = \xi _1^2{\xi _2},{x_2} = {\xi _1}\xi _2^2,{x_3} = \xi _2^3$$

((1))

definierte Raumkurve dritter Ordnung, wobei x ₀, x ₁, x ₂, x ₃ die homogenen Raumkoordinaten und ξ₁, ξ₂ zwei veränderliche Parameter bezeichnen. Wie Herr Hilbert zeigt, wird diese Kurve durch die quadratischen Gleichungen

$${\Phi _1} \equiv {x_0}{x_2} - x_1^2 = 0,{\Phi _2} \equiv {x_0}{x_3} - {x_1}{x_2} = 0,{\Phi _3} \equiv {x_1}{x_3} - x_2^2 = 0$$

((2))

in dem Sinne vollständig dargestellt, dass die Gleichung jeder die Kurve enthaltenden Fläche in der Gestalt

$$F\left( {{x_0},{x_1},{x_2},{x_3}} \right) \equiv {A_1}{\Phi _1} + {A_2}{\Phi _2} + {A_3}{\Phi _3} = 0$$

((3))

geschrieben werden kann, unter A ₁, A ₂, A ₃ Formen von x ₀, x ₁, x ₂, x ₃ verstanden. Oder in anderer Ausdrucksweise:

„Die Formen F(x ₀, x ₁, x ₂, x ₃) welche durch die Substitution (1) in identisch verschwindende Formen der Parameter ξ₁, ξ₂ übergehen, bilden den durch die Unterdeterminanten zweiten Grades der Matrix

$$\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{{x_0},{x_1},{x_2}} \\{{x_1},{x_2},{x_3}} \\\end{array}} \right|$$

definierten Modul.“