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Über ternäre diophantische Gleichungen dritten Grades

Vierteljahrsschrift der Naturforschenden Gesellschaft in Zürich, Jahrgang 62, 1917, S. 207–229
  • Adolf Hurwitz

Zusammenfassung

Während sich die ternären diophantisehen Gleichungen vom Geschlecht Null in vollständig befriedigender Weise erledigen lassen1), weiss man von den Gleichungen höheren Geschlechts bisher sehr wenig. In den folgenden Zeilen möchte ich einen kleinen Beitrag zur Theorie der diophantischen Gleichungen vom Geschlecht 1 geben, beschränke mich dabei aber auf den einfachsten Fall, nämlich den der Gleichungen dritten Grades, in dem also, geometrisch gesprochen, die Gleichung eine doppelpunktslose Kurve dritter Ordnung darstellt2).

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Referenzen

  1. 1).
    Vgl. D. Hilbert und A. Hurwitz, Über die diophantischen Gleichungen vom Geschlecht Null, Acta Mathematica, Bd. 14 (1890/91), S. 217–224 [diese Werke, Bd. II, S. 116–121]. Unsere Resultate sind zum Teil von H. Poincaré wiedergefunden worden. Siehe dessen inhaltsreiche Abhandlung: Sur les propriétés arithmétiques des courbes algébriques, Journal de mathématiques pures et appliquées, 5e série, t. 7 (1901), p. 161–233.Google Scholar
  2. 2).
    Nach Abschluss meiner Arbeit kamen mir die interessanten Abhandlungen von Beppo Levi: Saggio per una teoria aritmetica della forme cubiche ternarie (Accademia reale delle scienze di Torino, Nota I—IV, 1906–1908) zu Gesicht, die teüweise ähnliche Ziele verfolgen, wie die vorliegenden Untersuchungen.Google Scholar
  3. 1).
    Vgl. meine Arbeit: Über die Schröter’sche Konstruktion der ebenen Kurven dritter Ordnung, Crelles Journal, Bd. 107 (1891), S. 141–147 [diese Werke, Bd. II, Abhandlung XCVII], in welcher ich den Fall n — 3 in einer Weise behandelt habe, die ohne weiteres auf den Fall eines beliebigen Wertes von n ausgedehnt werden kann. Siehe auch Poincaré a. a. O., S. 170.Google Scholar
  4. 1).
    Siehe z. B. P. Bachmann, Die Arithmetik der quadratischen Formen, Leipzig 1898, S. 288ff.Google Scholar
  5. 1).
    Bezüglich der Sätze 3 und 4 vgl. Poincaré, loc. cit. p. 173.Google Scholar
  6. 1).
    Euler, Opera posthuma, t. I, p. 217.Google Scholar
  7. 1).
    Legendre, Théorie des nombres, 3me éd., Paris 1830, t. II, N° 333, 334 (S. 13 der deutschen Übersetzung, Leipzig 1886).Google Scholar
  8. 1).
    Pépin, Journal de mathématiques pures et appliquées, 2me série, t. 15 (1870), p. 217–236. Lucas, Nouvelles Annales, 2me série, t. 17 (1878), p. 507–514, et t. 19 (1880), p. 206–211.Google Scholar
  9. 1).
    Vgl. Legendre, Théorie des nombres, 3 me éd., Paris 1830, t. II, Nr. 333.Google Scholar
  10. 1).
    Ein näheres Eingehen auf die birationalen Transformationen, die naturgemäss in der Theorie der diophantischen Gleichungen höheren Geschlechts eine wichtige Rolle spielen, muss ich mir hier versagen. Man vergleiche übrigens die oben zitierte Abhandlung von Poincaré.Google Scholar
  11. 1).
    Auch dieses Beispiel findet sich bei B. Levi, Nota II, p. 22.Google Scholar
  12. 1).
    Ohne Beweis auch von Poincaré angegeben, loc. cit. p. 173.Google Scholar
  13. 2).
    Vgl. z. B. Desboves, Résolution, en nombres entiers et sous la forme la plus générale, de l’équation cubique, homogène à trois inconnues, Nouvelles Annales, 3e série, t. 5 (1886), p. 545–579.Google Scholar

Copyright information

© Springer Basel AG 1963

Authors and Affiliations

  • Adolf Hurwitz

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