Zusammenfassung
In Teil II haben wir die mathematischen Methoden dargestellt, mit denen die Quantenmechanik die Wahrscheinlichkeitsverteilungen physikalischer Größen ableitet. Wir wenden uns jetzt einer logischen Analyse dieser Methoden zu.
This is a preview of subscription content, log in via an institution to check access.
Access this chapter
Tax calculation will be finalised at checkout
Purchases are for personal use only
Preview
Unable to display preview. Download preview PDF.
Literatur
Wir können diesen Wert natürlich aus einer früheren Beobachtung kennen, deren Ergebnis aufgeschrieben wurde und daher zu einer späteren Zeit bekannt ist, während die Resultate zukünftiger Messungen zu früheren Zeiten nicht bekannt sein können. Dieser Unterschied beweist die Existenz einer Zeitrichtung. Aber der Gebrauch von Berichten schließt Verfahren ein, die in einem abgeschlossenen System nicht angewandt werden können. Soweit abgeschlossene Systeme in Betracht kommen, scheint es, daß die Quantenmechanik keine Zeitrichtung unterscheidet. Dies folgt aus (14, § 22).
Vgl. das Buch des Autors, Experience and Prediction (Chicago 1938), § 7.
Vgl. das Buch des Verfassers, Wahrscheinlichkeitslehre (Leiden 1935), § 44.
Vgl. auch S. 43.
Die Wichtigkeit dieser Methode für philosophische Untersuchungen ist von R. Carnap, Logical Syntax of Language (London 1937) betont worden.
Wir gebrauchen hier das Verb «aussagen» im gleichen Sinne wie das Verb «behaupten»; nur eine wahre Aussage ist daher aussagbar, oder kann behauptet werden.
Der Übergang von der Objektsprache zur Metasprache wird gewöhnlich durch Anführungs-striche angedeutet; oft wird auch Kursivdruck benutzt. Wir werden in unserer Darstellung der Logik Kursivdruck statt Anführungsstriche für Symbole gebrauchen, die Sätze bezeichnen, und diese Schreibweise mit der Regel verbinden, daß Operationssymbole, die zwischen Satzsymbolen stehen, auf die Sätze angewandt werden sollen und nicht auf deren Namen (d. h. wir befolgen einen autonomen Gebrauch von Operationen, in der Terminologie von R. Carnap). Wir schreiben also «a ist wahr», nicht «‚a‘ ist wahr», und «a.b ist wahr», nicht «‚a.B‘ ist wahr». Alle von uns gegebenen Formeln sind daher strenggenommen keine Formeln der Objektsprache, sondern Beschreibungen solcher Formeln. Im allgemeinen ist es aber für praktische Zwecke zulässig, diese Unterscheidung außer acht zu lassen.
Diese Unterscheidung ist von C. Morris in « Foundations of the Theory of Signs », International Encyclopedia of Unified Science, Bd. I, Nr. 2 (Chicago 1938) durchgeführt worden.
M. Strauss, Zur Begründung der statistischen Transformationstheorie der Quantenphysik, Ber. d. Berliner Akad., phys.-math. Kl., XXVII (1936) und Formal Problems of Probability Theory in the Light of Quantum Mechanics, Unity of Science Forum, Synthese (Den Haag, Holland, 1938), S. 35; (1939), S. 49, 65. In diesen Schriften entwickelt Strauss auch eine Form der Wahrscheinlichkeitstheorie, in der meine Existenzregel für Wahrscheinlichkeiten mit Bezug auf komplementäre Aussagen geändert wird. Eine solche Änderung ist jedoch nur notwendig, wenn eine unvollständige Schreibweise benutzt wird, wie wir sie am Anfang von § 22 gebraucht haben. Wenn der Ausdruck m u an der ersten Stelle eines Wahrscheinlichkeitsausdrucks angegeben wird, wie in der Schreibweise (13, § 22), kann eine Änderung der Existenzregel vermieden werden.
Herr Strauss hat mir mitgeteilt, daß er eine Veröffentlichung seiner Auffassungen in neuer und etwas veränderter Form beabsichtigt.
Vgl. Fußnote 2, S. 173, für den Gebrauch des Funktors «der Wert der Größe». 2) E. L. Post, Introduction to a General Theory of Elementary Propositions, Amer. J. Math., XLIII (1921), S. 163.
J. Lucasiewicz, Comptes rendus Soc. d. Sciences Varsovie, XXIII (1930), Cl. III, S. 51; J. Lucasiewicz und A. Tarski, op. cit., S. 1. Lucasiewicz hat seine Ideen zuerst in der polnischen Zeitschrift Ruch Filozoficzny, V (Lwow 1920), S. 169/170, publiziert.
H. Reichenbach, Wahrscheinlichkeitslogik, Ber. d. Preuß. Akad., phys.-math. Kl. (Berlin 1932).
Paulette Février, Les relations d’incertitude de Heisenberg et la logique, C. r. Acad. Sci, Paris 204, 481, 958 (1937). Vgl. auch den Bericht von L. Rougier, Les nouvelles logiques et la méchanique quantique, J. Unified Sci., Erkenntnis, 9, 208, (1939). In Paulette Févriers Artikel wird der dritte Wahrheitswert nicht als Unbestimmtheit, sondern als «verstärkte Falschheit» oder als Absurdität angesehen; dementsprechend unterscheiden sich ihre Wahrheitstafeln von unseren. Sie macht einen Unterschied zwischen «konjugierten Sätzen» und «nichtkonjugierten Sätzen», welcher der Unterscheidung von M. Strauss ähnelt. Unsere Einwände gegen die letztere Auffassung gelten daher auch mit Bezug auf diese Deutung.
Dieses Resultat könnte man nicht ableiten, wenn wir die Standardimplikation statt der alternativen Implikation in (28) und (32) benutzen würden.
Wir vereinfachen dieses Beispiel. Eine vollständige Schreibweise würde den Gebrauch von Satzfunktionen nötig machen.
Der Gebrauch von Funktoren in der dreiwertigen Logik unterscheidet sich von jenem in der zweiwertigen Logik insofern, als die Existenz eines bestimmten, von dem Funktor angegebenen Wertes nur behauptet werden kann, wenn die Aussage (36) wahr oder falsch ist, während die Unbestimmtheit von (36) die Unbestimmtheit einer Aussage über die Existenz eines Wertes nach sich zieht. Wir verzichten hier auf die Formalisierung dieser Regel.
D. h. die Operation, welche diese Formeln in zwei Hauptteile teilt.
Es läßt sich zeigen, daß der wahr-falsch-Charakter von (28) und (32) nicht an che besondere Form gebunden ist, die wir der Pfeilimplikation gegeben haben, sondern folgt, wenn folgende Forderungen eingeführt werden: erstens, die Koniplementaritätsbeziehungist symmetrisch in A und B, d. h. (28) ist äquivalent mit (32); zweitens, wenn A in (28) unbestimmt ist» kann B jeden der drei Wahrheitswerte haben; drittens, die in (28) gebrauchte Implikation ist wahr, wenn sowohl Implikans als auch Implikat wahr sind, sie ist falsch, wenn das Implikans wahr und das Implikat falsch ist. Wir deuten den Beweis hier nur an. Forderung zwei verlangt, daß die Pfeilimplikation ein W in den drei Fällen habe, in denen A unbestimmt ist; Forderung drei verlangt ein W in der ersten Reihe in der Spalte der Pfeilimplikation und ein F in der dritten. Es ergibt sich, daß mit diesem Resultat sieben von den neun Fällen von (28) bestimmt sind und nur W und F enthalten. Der noch fehlende Fall W, F von (28) muß dann gleich dem Fall F, W sein, entsprechend der ersten Forderung, und ist damit als F bestimmt. Es läßt sich dann zeigen, daß, um dieses Resultat zu erzielen, die Pfeilimplikation ein F in der zweiten Reihe von oben haben muß. Damit ist der letzte Fall von (28), der F, F-Fall, als F bestimmt. Die Pfeilimplikation ist durch die gegebenen Forderungen nicht völlig bestimmt; ihre letzten drei Werte können willkürlich gewählt werden.
Wie vorher ist der wahr-falsch-Charakter dieser Formeln von uns nicht absichtlich eingeführt worden, sondern er ergibt sich aus anderen Gründen. Wenn wir in (8) eine doppelte Standard-implikation benutzen, würde dies nach (21, § 32) eine Standardäquivalenz darstellen; dann ist der einzige Fall, in dem die Disjunktion (9) unbestimmt ist, der Fall, wenn alle B i unbestimmt sind. Wir brauchen aber aus den obenerwähnten Gründen auch Fälle, in denen einige B i falsch, andere unbestimmt sind.
Dr. A. Tarski, dem ich diese Ergebnisse mitteilte, hat mich darauf aufmerksam gemacht, daß es auch möglich ist, eine ähnliche Verallgemeinerung für das einschließende «oder» zu definieren. Wir ersetzen dann in der Spalte der Disjunktion in Tab. 4b das «U» der mittleren Reihe durch ein «W», während wir alle anderen Fälle unverändert lassen. Dieses «beinahe oder», wie man es nennen könnte, bedeutet, daß wenigstens einer der zwei Sätze wahr oder daß beide unbestimmt sind. Es läßt sich zeigen, daß diese Operation kommutativ und assoziativ, aber nicht distributiv oder reflexiv ist (der letzte Ausdruck bedeutet, daß «beinahe A oder A » nicht dasselbe ist wie «A»). Wenn man das «beinahe oder» auf mehr als zwei Sätze anwendet, dann bedeutet es: «wenigstens ein Satz ist wahr, oder wenigstens zwei sind unbestimmt.» Eine Disjunktion mit Hilfe des «beinahe oder» stellt darum diejenige Beziehung dar, die wir eine geschlossene Disjunktion nennen. Es läßt sich zeigen, daß die B 1 ... B n eine solche Disjunktion bilden, wenn die Beziehungen (8) gelten. Diese letzte Aussage ist natürlich nicht mit den Beziehungen (8) äquivalent, sondern nur eine Folgerung aus ihnen.
Vgl. das Buch des Verfassers Wahrscheinlichkeitslehre (Leiden 1935), (4), § 22.
Es würde richtiger sein, hier von einer Existentialaussage statt von einer Disjunktion mit einer unendlichen Anzahl von Gliedern zu sprechen. Es ist jedoch klar, daß unsere Überlegungen ebensogut für Existentialaussagen durchgeführt werden können.
Eine vollständige Definition der nomologischen Implikation findet sich in dem Buch des Verfassers Elements of Symbolic Logic, MacMillan & Co., New York 1947, Kap. VIII.
Die Quasiimplikation dieser letzteren Tabelle ist identisch mit einer Operation, die vom Verfasser unter Gebrauch desselben Symbols im Rahmen der Wahrscheinlichkeitslogik eingeführt worden ist (vgl. Wahrscheinlichkeitslehre (Leiden 1935), S. 381, Tafel IIc). Sie kann als der Grenzfall einer Wahrscheinlichkeitsimplikation angesehen werden, die sich ergibt, wenn nur die Wahrscheinlichkeiten 1 und 0 angenommen werden können. Sie kann aber auch als die individuelle Operation, die der allgemeinen Operation der Wahrscheinlichkeitsimplikation zugeordnet ist, angesehen werden; die Wahrscheinlichkeit ist dann dadurch bestimmt, daß man nur die W- und F-Fälle der Quasiimplikation zählt und die U-Fälle ausläßt. In diesem Sinne ist die Quasiimplikation unter dem Namen der Kommaoperation oder Auswahloperation in meinem Artikel Über die semantische und die Objektauffassung von Wahrscheinlichkeitsausdrucken, J. of Unified Science, Erkenntnis, VIII (1939), S. 61/62, behandelt worden.
A. Einstein, B. Podolsky und N. Rosen, Can Quantum Mechanical Description of Physical Reality be Considered Complete? Phys. Rev. 47, 777 (1935).
N. Bohr, Can Quantum Mechanical Description of Physical Reality be Considered Complete? Phys. Rev. 48, 696 (1935).
E. Schrödinger, Die gegenwärtige Situation in der Quantenmechanik, Naturwissenschaften 23, 807, 823, 844 (1935).
Wenn diese Definition einmal gewählt ist, können die verschränkten Systeme sogar für eine Messung gleichzeitiger Werte unvertauschbarer Größen benutzt werden. Wir messen dann u im ersten System und w im zweiten; dann stellen die sich ergebenden Werte u i und w k gleichzeitige Werte im zweiten System dar. Aber die Möglichkeit, solche gleichzeitigen Werte zu messen, ist schon in § 25 als eine Folge von Definition 1, § 25, aufgezeigt worden. Wenn nur Definition 4, § 29, benutzt würde, so ergäben die beiden Messungen an verschränkten Systemen keine gleichzeitigen Werte.
Dies ist folgendermaßen zu verstehen. Wenn wir einen Geiger-Zähler hinter jeden der Schlitze B 1 und B 2 stellen, werden wir das Teilchen stets entweder in dem einen oder dem anderen Zähler lokalisieren. (Diese Messung stört natürlich das Interferenzmuster auf dem Schirm.) Die Annahme, daß das Teilchen an der betreffenden Stelle gewesen sei, bevor es auf den Zähler aufgetroffen ist, führt zu der Schlußfolgerung, daß sich das Teilchen auch dort befunden hätte, wenn keine Messung gemacht worden wäre. Daraus folgt, daß wenn keine Beobachtung an den Schlitzen gemacht wird, das Teilchen entweder durch den einen oder durch den anderen Schlitz geht. Diese Annahme führt zu kausalen Anomalien, wie wir in § 7 gezeigt haben.
Vgl. Fußnote 2, S. 173.
Author information
Authors and Affiliations
Rights and permissions
Copyright information
© 1949 Springer Basel AG
About this chapter
Cite this chapter
Reichenbach, H. (1949). Interpretationen. In: Philosophische Grundlagen der Quantenmechanik. Lehrbücher und Monographien aus dem Gebiete der Exakten Wissenschaften. Springer, Basel. https://doi.org/10.1007/978-3-0348-4130-6_3
Download citation
DOI: https://doi.org/10.1007/978-3-0348-4130-6_3
Publisher Name: Springer, Basel
Print ISBN: 978-3-0348-4057-6
Online ISBN: 978-3-0348-4130-6
eBook Packages: Springer Book Archive