Zusammenfassung
Der mathematische Formalismus der Quantenmechanik gründet sich auf die allgemeine mathematische Methode, eine Funktion in eine Reihe von anderen Funktionen zu entwickeln, welche die Grundfunktionen der Entwicklung genannt werden.
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Literatur
Wie gezeigt, genügt (4), um (2) und (3) abzuleiten. Wenn umgekehrt (1) und (3) von (2) abgeleitet werden sollen, kann Beziehung (4) nicht benutzt werden ; statt dessen müßte eine Bedingung entsprechend (16) eingeführt werden, welche mit den Schwierigkeiten verbunden ist, die für stetige Variable bestehen.
Unter dem Ausdruck «Anzahl der Dimensionen» verstehen wir hier die Anzahl der Parameter, die einen Punkt im Raum bestimmen. Eine andere Bedeutung des Ausdrucks liegt vor, wenn die Dimensionszahl durch die Anzahl linear unabhängiger Vektoren definiert ist, welche auch für einen Raum, der in der ersten Terminologie eine stetige Anzahl von Dimensionen hat, abzählbar ist. Nur für eine endliche Anzahl von Dimensionen fallen beide Bedeutungen zusammen.
Statt dieses Symbols wird das Symbol † in manchen Darstellungen benutzt.
In der Figur gebrauchen wir eine vektorielle Darstellung, in welcher ein Vektor nicht parallel zu sich selbst verschoben werden kann. Diese Bedingung ist notwendig, um die vektorielle Addition unvertauschbar zu machen, was der Multiplikation der Matrizen entspricht.
Ann. Phys. (10) 3, 22 (Paris 1925).
Ann. Phys. (4) 79, 361, 489 (Leipzig 1926).
Vgl. das Buch des Autors Experience and Prediction (Chicago 1938), S. 7.
Wir folgen der gewöhnlichen Schreibweise, welche Frequenz und Wellenlänge durch die Buchstaben v und λ ausdrückt, und machen so von unserer Regel eine Ausnahme, nach der griechische Buchstaben für komplexe Größen reserviert sind.
Der Name «Hermitisch» stammt von dem Namen des französischen Mathematikers Hermite. Man kann zeigen, daß ein Hermitischer Operator linear sein muß, während natürlich ein linearer Operator nicht Hermitisch zu sein braucht.
J. von Neumann, Mathematische Grundlagen der Quantenmechanik (Berlin 1932), II, S. 6–9.
Vgl. H. A. Kramers, Grundlagen der Quantentheorie (Leipzig 1938), S. 166.
Es ist möglich, Matrizen zu konstruieren, welche gleichzeitig Hermitisch und unitär sind. Für solche Matrizen haben wir mit (2, § 11), (15, § 11) sowie (3) und (6) Die Matrizen der Quantenmechanik erfüllen jedoch gewöhnlich nur eine der beiden Bedingungen. Matrizen und Operatoren, die physikalischen Größen zugeordnet sind, sind Hermitisch; Matrizen, die als Eigenfunktionen oder Transformationen benutzt werden, sind unitär.
Z. Phys. 35, 557 (Berlin 1926).
Proc. Roy. Soc. London (A) 109, 642 (1925).
Ann. Phys. (4) 79, 734 (Leipzig 1926).
Für gewisse physikalische Probleme wird die Bedingung (1) aufgegeben und eine nichtquadratische integrable ψ-Funktion benutzt. Das bedeutet, daß |ψ|2 nicht als eine Wahrscheinlichkeit aufgefaßt wird, sondern als ein Hilfsmittel, die Verhältnisse von Wahrscheinlichkeiten zu bestimmen.
Ursprünglich hatte Schrödinger auch seine erste Gleichung nur für den Energieoperator aufgestellt. Die Ausdehnung auf andere Operatoren wurde später eingeführt.
Wenn in (9, § 13) das Potential U = 0 ist, dann verschwindet die linke Seite von (1) für eine Funktion ψ, die linear in q ist. Aber eine solche Funktion kann die Bedingung der Normalisierung (1, § 17) nicht erfüllen. Daher müssen wir auch in diesem Falle ein zeitabhängiges ψ annehmen.
Dieses Ergebnis ist auf einen zeitunabhängigen Energieoperator beschränkt. Wir wollen hier allgemeinere Fälle nicht diskutieren.
Vgl. z.B. H.A.Kramers Grundlagen der Quantentheorie (Leipzig 1938), S. 145, 153.
Vgl. das Buch des Autors Experience and Prediction (Chicago 1938), §§ 33, 34.
Diese Messungsdefinition ist von E. Schrödinger sehr klar in Naturwissenschaften 23, 824 (1935), formuliert worden.
Vgl. W. Pauli, Die allgemeinen Prinzipien der Wellenmechanik in Handbuch der Physik, Bd. XXIV, 1 (hg. von Geiger-Scheel, 2. Aufl., Berlin 1933), S. 140.
Die Schreibweise, die wir hier für Wahrscheinlichkeitsausdrücke und die Operationsregeln für solche Ausdrücke benutzen, sind in dem Buch des Autors, Wahrscheinlichkeitslehre (Leiden 1935), wiedergegeben. Das dort benutzte Symbol W ist hier durch das Symbol P ersetzt, in Anpassung an das lateinische Wort probabilitas, das in die französische und englische Sprache übergegangen ist. Die gleiche Bezeichnung wird benutzt in der Abhandlung des Autors, Les fondements logiques du calcul des probabilités, Ann. Inst. Henri Poincaré, tome VII, fasc. V, S. 267–348. Diese Abhandlung gibt eine Zusammenfassung der von dem Autor entwickelten Form der Wahrscheinlichkeitsrechnung.
Vgl. das Buch des Autors Wahrscheinlichkeitslehre (Leiden 1935), § 18.
Wir benutzen also in dieser Schreibweise ein unsymmetrisches «und»; das kann durch den Gebrauch von oberen Indizes, die die Zeitordnung ausdrücken, vermieden werden.
Dies ist das logische Prinzip der Kontraposition, das wir in (9, § 31) formuliert haben.
Man kann zeigen, daß jede Mischung S als eine Mischung von ψ-Funktionen angesehen werden kann, welche eine orthogonale Gesamtheit bilden. Wenn wir die oben wiedergegebenen Überlegungen benutzen, so können wir sagen, daß es für jede Mischung eine Größe x derart gibt, daß die Mischung als eine solche reiner Fälle aufgefaßt werden kann, welche Messungsresultaten einer Größe x entsprechen. Vgl. M. Born und P. Jordan, Elementare Quantenmechanik (Berlin 1930), § 59.
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Reichenbach, H. (1949). Mathematische Grundzüge der Quantenmechanik. In: Philosophische Grundlagen der Quantenmechanik. Lehrbücher und Monographien aus dem Gebiete der Exakten Wissenschaften. Springer, Basel. https://doi.org/10.1007/978-3-0348-4130-6_2
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