Zusammenfassung
Eine in einem Gebiete G definierte eindeutige komplexe Funktion f(z) heißt in einem Punkte z 0 dieses Gebietes differenzierbar, wenn es eine endliche und im Punkte z = z 0 stetige Funktion φ(z; z 0) gibt, für welche die Gleichung
in allen Punkten von G erfüllt ist.
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Cauchy hat allerdings den obigen Satz unter der Voraussetzung bewiesen, daß die Ableitung f’(z) stetig sein soll. Erst um 1900 hat P. Goursat die aufsehenerregende Entdeckung gemacht, das der Satz auch gilt, wenn man jede Annahme über Stetigkeit oder sogar Beschränktheit von f’(z) fallen läßt, und nur die Endlichkeit von f’(z) postuliert. Deshalb wird heute der Satz mit Recht der Cauchy-Goursatsche Satz genannt. Andererseits stammen fast alle Anwendungen des betreffenden Satzes schon von Cauchy selbst her, so daß die historische Ungenauigkeit, die in der obigen Bezeichnung des Satzes enthalten ist, durchaus verteidigt werden kann. Der Beweis des Textes, der etwas einfacher ist als der ursprüngliche Beweis von Coursat, stammt von A. Pringsheim (1850–1941).
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© 1950 Springer Basel AG
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Carathéodory, C. (1950). Die Grundlagen der Theorie. In: Funktionentheorie. Lehrbücher und Monographien aus dem Gebiete der Exakten Wissenschaften, vol 8 . Springer, Basel. https://doi.org/10.1007/978-3-0348-4120-7_7
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DOI: https://doi.org/10.1007/978-3-0348-4120-7_7
Publisher Name: Springer, Basel
Print ISBN: 978-3-0348-4048-4
Online ISBN: 978-3-0348-4120-7
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