Über den Ort der Mittelpunkte größter und kleinster Krümmung beim Ellipsoid, die kürzeste Kurve auf demselben und verwandte Gegenstände

Zusammenfassung

Flächen zweiten Grades, welche den Mittelpunkt und die Brennpunkte ihrer Hauptschnitte gemein haben, heißen konfokale Flächen. Die drei Unterschiede der Quadrate ihrer homologen Halbachsen sind alle einander gleich. Man wird daher ein System konfokaler Flächen erhalten, wenn man, bei einem gegebenen Ellipsoid (I) anfangend, die Quadrate seiner Halbachsen gleichmäßig abnehmen läßt. Das Quadrat der kleinsten Halbachse wird bei diesem Verlauf zuerst auf den Nullwert herabsinken, und somit wird die konfokale Fläche in die Ebene des ersten Hauptschnitts degenerieren. Hierauf bekommt das Quadrat der kleinsten Halbachse einen negativen Wert, und die konfokale Fläche wird ein Hyperboloid mit einem Mantel (II). Sodann erreicht das Quadrat der mittleren Halbachse den Nullwert, und die konfokale Fläche degeneriert in die Ebene des zweiten Hauptschnitts, um, wenn auch dieses Quadrat negativ geworden sein wird, in ein Hyperboloid mit zwei Mänteln überzugehen (III). Endlich erreicht auch das Quadrat der größten Halbachse den Nullwert, und die konfokale Fläche degeneriert in die Ebene des dritten Hauptschnitts. Bei weiterer Abnahme der Quadrate der Halbachsen hört sie auf, reelle Punkte zu haben (IV).

Jacobi, dem ich zu großem Dank verpflichtet bin, hat zuerst das Integral der Differentialgleichung zweiter Ordnung in bezug auf die kürzeste Kurve auf dem Ellipsoid gefunden und im 19. Band des Crelleschen Journals nebst einer Menge fruchtbarer Andeutungen über den Gebrauch der konfokalen Flächen und verwandter allgemeinerer Begriffe mitgeteilt. Diese Abhandlung habe ich durch eine Übersetzung in Liouvilles Journal kennengelernt¹). Da die in derselben enthaltenen Andeutungen bisher mannigfach von andern sind benutzt und entwickelt worden, so wird man es mir um so weniger übelnehmen, wenn auch ich diesen Gegenstand der kürzesten Kurve auf dem Ellipsoid, freilich bei weitem nicht nach dem darin liegenden Reichtum von Sätzen, ausbeute. Ich habe inzwischen erfahren, daß Liouville im 9. Bande seines Journals (Jahrgang 1844) einen Beweis zu Jacobis Formel für die kürzeste Kurve auf dem Ellipsoid geliefert hat, denselben aber bis jetzt noch nicht zu Gesicht bekommen; dagegen gibt Liouville zu Anfang des 11. Bandes einen geometrischen Beweis jener Formel, den ich gesehen habe und der außer seiner Einfachheit vor dem meinigen, mehr indirekten den Vorzug hat, direkt zu sein²); während dagegen der meinige neben der Gleichung der Kurve zugleich noch die Länge ihres Bogens gibt. — In betreff der Fläche, welche der Ort aller Mittelpunkte größter und kleinster Krümmung des Ellipsoids ist, habe ich zu bemerken, daß ich auf geschehene Anfrage von den Herren Jacobi und Dirichlet erfahren habe, daß die Endgleichung der genannten Ortsfläche schon gefunden ist und daß die Elimination gelingt, wenn die Summe der Quadrate der Hauptachsen als zu eliminierende Größe in die Rechnung gebracht wird. Diese letztere Andeutung tauchte indessen in meiner Erinnerung erst dann wieder auf, als ich durch den Gang der Untersuchung selbst darauf geführt wurde, die genannte Variable größerer Einfachheit wegen in Rechnung zu bringen.