Zusammenfassung
Eine Zahlenfolge
oder, wie wir auch abgekürzt schreiben werden,
heisst eine Nullfolge, wenn die absoluten Beträge aller Zahlen dieser Folge mit hinreichend grossen Indizes unter jede positive Schranke sinken. (Wir kürzen im folgenden oft das Wort Nullfolge durch N F ab.)
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Referenzen
Dabei ist es keineswegs nötig, N(ε) möglichst klein zu wählen; deshalb kann man an den betrachteten Ausdrücken im allgemeinen grosse Vereinfachungen vornehmen. ist nicht empfehlenswert und beginnt heute zu verschwinden. Man schreibt übrigens nach Belieben: Lim oder lim. Das Wort konvergent geht auf J. Gregory (1638–1675) 1667 zurück, obgleich der Begriff der Konvergenz dem Wesen nach bereits bei Archimedes auftritt, der das Beispiel der Folge (26,3) für q = 1/2 betrachtet. Die Benutzung des Pfeilsymbols → geht in diesem Zusammenhang auf J. G. Leathern, 1905 zurück.
Die Wendung „alle bis auf endlich viele“ kommt, wie man sieht, in der Analysis sehr oft vor. Diese Wendung kürzt man nach dem Vorschlag von G. Kowalewski durch „fast alle“ ab, womit das Wort „fast“ eine exakte Bedeutung erhält. Doch hat sich diese Abkürzung noch nicht allgemein eingebürgert. (Vgl. G. Kowalewski, Einführung in die Infinitesimal rechnung, Aus Natur und Geisteswelt, Teubner, 1928, 4. Aufl., p. 15.)
Gelegentlich betrachtet man auch Zahlenfolgen a v(v = v 0 , v 0 +1, ....), bei denen die Indizes zwar auch über ganze Zahlen ins Unendliche gehen, die Numerierung aber mit einer ganzen Zahl v 0 beginnt, die > 1 oder < 1 ist. Um für eine solche Folge die Konvergenz oder den Grenzwert zu definieren, werden in ihr im Falle v 0 < 1 die endlich vielen Elemente weggelassen, deren Indizes <1 sind, und im Falle v 0>1 endlich viele Elemente mit den Indizes 1, 2, ..., v 0–1 in beliebiger Weise hinzugefügt. Ist die so entstehende Folge konvergent und hat sie s zum Grenzwert, so heisst die ursprüngliche Folge konvergent und s ist ihr Grenzwert. Ist die entstehende Folge divergent, so heisst auch die ursprüngliche Folge divergent. — Noch einfacher ist es, die Indizes der a v so zu verschieben, dass sie von 1 an laufen, indem man setzt
Augustin Louis Cauchy (1789–1857), der bedeutendste französische Mathematiker seit Lagrange. — Bernhard Bolzano (1781–1848) war vor allem Philosoph, hat aber eine Reihe von sehr wichtigen, rein mathematischen Entdeckungen gemacht, die für die Grundlegung der Infinitesimalrechnung von Bedeutung sind. Es ist bemerkenswert, dass er der einzige Fachphilosoph im 19. und 20. Jahrhundert ist, der auch in der Mathematik bedeutende Fachleistungen vollbracht hat, — während vom klassischen Altertum an bis zum 18. Jahrhundert es immer wieder bedeutende Philosophen gab, die zugleich erstrangige Mathematiker waren.
Wie man sieht, ist der mit dieser Formulierung erzielte Fortschritt immerhin damit erkauft, dass man mit der Differenz a v —a μ gewissermassen eine Funktion zweier Variabein v, μ zu betrachten hat.
Das Symbol ∞ für Unendlich verdankt man John Wallis (1616–1703), der es zuerst 1655 benutzt hat.
Hier spielt also C eine ganz analoge Rolle, wie ε bei der eigentlichen Konvergenz.
Die Möglichkeit dieser Darstellung ist zuerst von Archimedes an einem sehr bemerkenswerten Beispiel dargetan worden in seiner auch heute noch lesenswerten Schrift: Über die Zählung des Sandes.
Insofern ist die Aufgabe, durch einen Grenzübergang eine reine Ungleichheit herzuleiten in den meisten Fällen relativ schwierig und verlangt Benutzung spezieller Kunstgriffe.
Unter [x] verstehen wir hier, wie in der Zahlentheorie üblich, die grösste ganze Zahl n, die in x enthalten ist, so dass also stets
Die allgemeine Benutzung des Buchstabens e für diese Zahl geht auf Euler, 1736 zurück. Übrigens ist auch die Benutzung des Buchstabens π für das Verhältnis der Kreislinie zu ihrem Durchmesser Euler zu verdanken, der zuerst 1736 das Symbol π verwendet hat. Durch Eulers Introductio in Analysin Infinitorum wurde diese Verwendung 1748 im Allgemeingebrauch verwurzelt. Zum ersten Mal wurde allerdings der Buchstabe π in dieser Bedeutung von W. Jones, 1706 benutzt.
Charles Hermite (1822–1901).
Eine vereinfachte Fassung des Hermiteschen Beweises wird im zweiten Teil dieser Vorlesungen gebracht werden.
Ferdinand Lindemann (1852–1939).
Der systematische Gebrauch des Äquivalenzzeichens in dieser scharfen Bedeutung scheint auf G. H. Hardy und J. E. Littlewood, 1920 zurückzugehen, doch wurde dieses Symbol in einer ähnlichen Bedeutung bereits von T. J. l’A. Bromwich, 1908 und noch früher von P. du Bois-Reymond, 1870 benutzt.
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Ostrowski, A. (1952). Grenzwerte. In: Vorlesungen Über Differential- und Integralrechnung. Lehrbücher und Monographien aus dem Gebiete der Exakten Wissenschaften, vol 4 . Springer, Basel. https://doi.org/10.1007/978-3-0348-4099-6_2
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