Absolute Stetigkeit

Zusammenfassung

In diesem Kapitel behandeln wir die Frage, wann Maße und wann Funktionen Dichten besitzen.

Übungsaufgaben

Aufgabe 9.1

Seien $\upmu$ und $\upnu$ $\upsigma$-endlich. Zeigen Sie, dass dann $\upnu \ll \upmu$ äquivalent ist zu der Bedingung

$$\begin{aligned} \forall \upvarepsilon> 0\ \exists \updelta > 0 : \upmu (\mathsf {A}) \le \updelta \Rightarrow \upnu (\mathsf {A}) \le \upvarepsilon . \end{aligned}$$

Hinweis: Der Satz von Radon-Nikodym ist hilfreich. Aus $\mathsf {d}\upnu = \mathsf {h}\ \mathsf {d}\upmu$ folgt für alle $\mathsf {c} > 0$

$$\begin{aligned} \upnu (\mathsf {A}) \le \int _{\mathsf {A}\cap \{\mathsf {h} \le \mathsf {c}\}}\mathsf {c}\,\mathsf {d}\upmu + \int _{\mathsf {A} \cap \{\mathsf {h}> \mathsf {c}\}}\mathsf {h}\,\mathsf {d}\upmu \le \mathsf {c}\upmu (\mathsf {A}) + \upnu (\mathsf {h} > \mathsf {c}). \end{aligned}$$

Aufgabe 9.2

Sei S überabzählbar, sei $\mathcal {A}$ die $\upsigma$-Algebra aller $\mathsf {A} \subset \mathsf {S}$, die entweder selbst abzählbar oder deren Komplement abzählbar ist, und sei $\mathsf {h} : \mathsf {S} \rightarrow \mathbb {R}$ eine nichtnegative Funktion. Wir betrachten die Maße $\upmu$, $\upnu$ auf $\mathcal {A}$, gegeben durch $\upmu (\mathsf {A}) := \#\mathsf {A}$ und

$$\begin{aligned} \upnu (\mathsf {A}) := \left\{ \begin{array}{ll}\sum _{\mathsf {x}\in \mathsf {A}}\ \mathsf {h}(\mathsf {x}), &{} \hbox {falls}\ \mathsf {A}\ \text {abz}\ddot{\mathrm{a}}\text {hlbgar},\\ \infty &{} \hbox {sonst}. \end{array}\right. \end{aligned}$$

(i) Wann gilt $\upnu \ll \upmu$? (ii) Wann hat $\upnu$ eine Dichte bzgl. $\upmu$? (Vgl. Aufgabe 2.1)

Aufgabe 9.3

Sei $\mathsf {B} \subset \mathbb {R}$ eine Borelmenge. Zeigen Sie, dass für fast alle $\mathsf {x} \in \mathsf {B}$

$$\begin{aligned} \lim \limits _{\mathsf {h} \downarrow 0}\frac{\uplambda ([\mathsf {x}-\mathsf {h},\,\mathsf {x}+\mathsf {h}]\cap \mathsf {B})}{2\mathsf {h}}=1 \end{aligned}$$

gilt. Man sagt, fast alle Elemente von B sind Dichtepunkte von B.

Aufgabe 9.4

Ist die stetige Funktion $\mathsf {f}(\mathsf {x}) := \mathsf {x} \sin (1/\mathsf {x}),\,\mathsf {f}(0) := 0$ auf dem Intervall [0, 1] von beschränkter Variation? Wie steht es mit $\mathsf {g}(\mathsf {x}) := \mathsf {xf}(\mathsf {x})$?

Aufgabe 9.5

Sei $\updelta = \upmu - \upnu$ mit Maßen $\upmu$ und $\upnu$ (eines von beiden endlich). Zeigen Sie: $\updelta ^{+}(\mathsf {A}) \le \upmu (\mathsf {A})$ und $\updelta ^{-}(\mathsf {A}) \le \upnu (\mathsf {A})$ für alle messbaren A.

Aufgabe 9.6

Für ein signiertes Maß $\updelta$ definiert man die Variation als das Maß $|\updelta |$ gegeben durch $|\updelta | := \updelta ^{+} + \updelta ^{-}$. Zeigen Sie

$$\begin{aligned} |\updelta |(\mathsf {A})= \sup \Big \{\sum \limits _{\mathsf {k}=1}^{\mathsf {n}}|\updelta (\mathsf {A}_{\mathsf {k}})| : \mathsf {A}_{1},\ldots , \mathsf {A}_{\mathsf {n}}\ \hbox {sind disjunkt}, \bigcup \limits _{\mathsf {k}=1}^{\mathsf {n}}\,\mathsf {A}_{\mathsf {k}} \subset \mathsf {A} \Big \}. \end{aligned}$$