Das Integral von nichtnegativen Funktionen

Zusammenfassung

Ausgehend von einem Maß $\upmu$ auf dem messbaren Raum $(\mathsf {S}, \mathcal {A})$ definieren wir nun Integrale für beliebige messbare Funktionen $\mathsf {f} \ge 0.$ Gemeint sind damit messbare Funktionen von S mit Werten in $\bar{\mathbb {R}}_{+} = [0, \infty ]$.

Übungsaufgaben

Aufgabe 4.1

Sei $\updelta _{\mathsf {x}}$ das Dirac-Maß in $\mathsf {x} \in \mathsf {S}$. Bestimmen Sie $\int \mathsf {f}\,\mathsf {d}\updelta _{\mathsf {x}}$ für messbares $\mathsf {f} \ge 0$.

Aufgabe 4.2

Beweisen Sie für messbares $\mathsf {f} \ge 0$ und jede reelle Zahl $\mathsf {a} > 0$

$$\begin{aligned} \int \mathsf {f}^{\mathsf {a}}\ \mathsf {d}\upmu = \mathsf {a}\int _{0}^{\infty } \mathsf {t}^{\mathsf {a}-1} \upmu (\mathsf {f} > \mathsf {t})\,\mathsf {dt}. \end{aligned}$$

Aufgabe 4.3

Sei $\mathsf {f} : \mathbb {R} \rightarrow \bar{\mathbb {R}}_{+}$ eine borelmessbare Funktion mit $\int \mathsf {f}\ \mathsf {d}\uplambda < \infty$ und sei $\mathsf {a} > 0$. Zeigen Sie

$$\begin{aligned} \sum \limits _{\mathsf {n}=1}^{\infty }\mathsf {n}^{-\mathsf {a}}\mathsf {f}(\mathsf {nx}) < \infty \end{aligned}$$

für $\uplambda$-fast alle $\mathsf {x} \in \mathbb {R}$.

Hinweis: Bestimmen Sie $\int \mathsf {f}_{\mathsf {n}}\ \mathsf {d}\uplambda$ für $\mathsf {f}_{\mathsf {n}}(\mathsf {x}) := \mathsf {n}^{-\mathsf {a}}\,\mathsf {f}(\mathsf {nx})$.

Aufgabe 4.4

Für messbare Mengen $\mathsf {A}_{1},\ \mathsf {A}_{2}, \ldots \subset \mathsf {S}$ setzen wir

$$\begin{aligned} \mathop {\lim \inf }\limits _{\mathsf {n} \rightarrow \infty }\ \mathsf {A}_{\mathsf {n}} := \{\mathsf {x} \in \mathsf {S} : \mathsf {x} \in \mathsf {A}_{\mathsf {n}}\ \hbox {bis auf endlich viele}\ \mathsf {n}\} = \bigcup \limits _{\mathsf {m} \ge 1}\bigcap \limits _{\mathsf {n} \ge \mathsf {m}}\ \mathsf {A}_{\mathsf {n}}. \end{aligned}$$

Folgern Sie für ein Maß $\upmu$ aus dem Lemma von Fatou

$$\begin{aligned} \upmu (\mathop {\lim \inf }\limits _{\mathsf {n} \rightarrow \infty }\,\mathsf {A}_{\mathsf {n}}) \le \mathop {\lim \inf }\limits _{\mathsf {n} \rightarrow \infty } \upmu (\mathsf {A}_{\mathsf {n}}). \end{aligned}$$

Aufgabe 4.5

(Borel-Cantelli Lemma) Für messbare Mengen $\mathsf {A}_1, \mathsf {A}_{2}, \ldots \subset \mathsf {S}$ sei

$$\begin{aligned} \mathop {\lim \sup }\limits _{\mathsf {n} \rightarrow \infty }\ \mathsf {A}_{\mathsf {n}} := \{\mathsf {x} \in \mathsf {S} : \mathsf {x} \in \mathsf {A}_{\mathsf {n}}\ {\text {f}}{\ddot{\text {u}}}{\text {r}}\ \infty \ \hbox {viele}\ \mathsf {n}\} = \bigcap \limits _{\mathsf {m} \ge 1}\bigcup \limits _{\mathsf {n} \ge \mathsf {m}}\ \mathsf {A}_{\mathsf {n}}. \end{aligned}$$

Zeigen Sie $\upmu (\lim \sup _{\mathsf {n} \rightarrow \infty }\ \mathsf {A}_{\mathsf {n}}) = 0$ unter der Annahme $\sum _{\mathsf {n} \ge 1}\upmu (\mathsf {A}_{\mathsf {n}}) < \infty$.

Hinweis: Betrachten Sie $\int \mathsf {f}\,\mathsf {d}\upmu$ für $\mathsf {f}(\mathsf {x}) := \sum _{\mathsf {n} > 1}1_{\mathsf {A}_{\mathsf {n}}}(\mathsf {x})$, der Anzahl der n mit $\mathsf {x} \in \mathsf {A}_{\mathsf {n}}$.

Aufgabe 4.6

Ein Maß $\upmu$ auf S ist $\upsigma$-endlich genau dann, wenn es eine messbare Funktion $\mathsf {f} \ge 0$ gibt mit $\int \mathsf {f}\,\mathsf {d}\upmu < \infty$ und $\mathsf {f}(\mathsf {x}) > 0$ für alle $\mathsf {x} \in \mathsf {S}$. Zeigen Sie dieses.

Aufgabe 4.7

(Eine abstrakte Sicht auf das Integral) Sei $\mu$ ein Maß auf S und sei I eine Abbildung, die jeder messbaren Funktion $f\ge 0$ eine Zahl $I(f)\ge 0$, möglicherweise $\infty$, zuordnet, und die folgende Eigenschaften hat:

• (i) $f_1,f_2\ge 0$, messbar, $c_1,c_2 \in \mathbb R_+ \quad \Rightarrow \quad I(c_1f_1 + c_2f_2)=c_1I(f_1)+c_2I(f_2),$

• (ii) $0\le f_1 \le f_2 \le \cdots$ messbar $\quad \Rightarrow \quad I(\sup _n f_n)=\sup _n I(f_n)$,

• (iii) $I(1_A)=\mu (A)$ für alle messbaren $A\subset S$.

Dann gilt $I(f)=\int f \, d\mu$ für alle messbaren Funktionen $f \ge 0$.