Zusammenfassung
Entre deux vérités du domaine réel, le chemin le plus facile et le plus court passe bien souvent par le domaine complexe.
(Paul Painlevé 1900)
That’s right: the so-called ‘‘complex’’ numbers actually make things simpler.
(John Stillwell 2010)
Die „Theorie der holomorphen Funktionen einer komplexen Veränderlichen“ (kurz Funktionentheorie, engl. „complex analysis“) stellt in Eleganz, Geschlossenheit und Wirkungsmächtigkeit den unbestritten größten Triumph der Analysis des 19. Jahrhunderts dar. Selbst wenn man „nur“ an reellen Ergebnissen interessiert sein sollte, leisten funktionentheoretische Methoden etwas fast Magisches:Die Funktionentheorie ist sowohl ein „einmaliges Geschenk an die Mathematiker“ (Carl L. Siegel) als auch ein für sie und die Anwender (vor allem für Physiker und Ingenieure) unverzichtbares Werkzeug.
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Notes
- 1.
François Viète löste den Casus irreducibilis 1591 durch \(x=2\sqrt{\smash[b]{p}}\cos(\phi/3)\), \(\cos\phi=q/\sqrt{p^{3}}\).
- 2.
Er stritt mit Gottfried W. Leibniz von 1700 bis zu dessen Tod 1716 über den Wert von \(\log(-1)\).
- 3.
Selbst Euler musste noch um Worte ringen, wenn er die „Natur“ der komplexen Zahlen erklären sollte, so 1770 im § 145 seiner „Anleitung zur Algebra“:
Gleichwohl aber werden sie unserm Verstand dargestellt, und finden in unserer Einbildung statt; daher sie auch blos eingebildete Zahlen genennt werden. Ungeachtet aber diese Zahlen, als z.E. \(\sqrt{-4}\), ihrer Natur nach ganz und gar ohnmöglich sind, so haben wir doch einen hinlänglichen Begriff, indem wir wissen, daß dadurch eine solche Zahl angedeutet werde, welche mit sich selbsten multiplicirt zum Product −4 hervorbringe; und dieser Begriff ist zureichend, um diese Zahlen […] gehörig zu behandeln.
- 4.
Ich erinnere an die Standardnotationen
$$\displaystyle|z|=\sqrt{x^{2}+y^{2}},\qquad\overline{z}=x-iy,\qquad x=\mathop{\mathrm{Re}}z,\qquad y=\mathop{\mathrm{Im}}z,$$für Betrag, konjugiert komplexe Zahl, Realteil und Imaginärteil von \(z\in\mathbb{C}\).
- 5.
Im Unterschied zur Differenzierbarkeit auf der reellen Achse nähert sich z dem Punkt z 0 hier nicht nur entlang einer Geraden, sondern beliebig in der komplexen Ebene. Diese „Freiheit der mathematischen Bewegung“ (Leopold Kronecker 1894) macht die komplexe Differenzierbarkeit zu einem ungleich mächtigeren Werkzeug.
- 6.
Ich verwende die Knuth’sche Schreibweise der fallenden Faktoriellen :
$$\displaystyle n^{\underline{k}}=n(n-1)\cdots(n-k+1).$$ - 7.
Hier nutzt man, dass sich der Farbkreis wahrnehmungspsychologisch schließt, weil die Randpunkte Rot und Blau der Spektralfarben über die (als reine Spektralfarben inexistenten) Farben der Purpurlinie als stetig verbunden wahrgenommen werden.
- 8.
Eine globale Variante dieses Satzes wird in Abschn. 7.4 behandelt.
- 9.
ComplexVisual Toolbox für Matlab von Christian Ludwig: http://www-m3.ma.tum.de/Software/ComplexVisualToolbox.
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Bornemann, F. (2016). Holomorphe Funktionen. In: Funktionentheorie. Mathematik Kompakt. Birkhäuser, Basel. https://doi.org/10.1007/978-3-0348-0974-0_1
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DOI: https://doi.org/10.1007/978-3-0348-0974-0_1
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Publisher Name: Birkhäuser, Basel
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