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Tullio Viola and his Maestri in Bologna: Giuseppe Vitali, Leonida Tonelli and Beppo Levi

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Mathematicians in Bologna 1861–1960

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Abstract

The aim of this contribution is to illustrate the relationships between Tullio Viola (1904–1985) and his professors Beppo Levi (1875–1961), Giuseppe Vitali (1875–1932) and Leonida Tonelli (1885–1946) during his years as a student and just after graduation at the University of Bologna, in order to shed light on how they influenced his early research in analysis and his commitment to teaching. A transcription of Viola’s manuscript concerning his studies of eight articles by Vitali is provided in the appendix.

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Notes

  1. 1.

    Translation of this paper from Italian is by Kim Williams. The transcripts of the documents and the appendix are by C. Silvia Roero. This research was performed within the Project PRIN 2009 Scuole matematiche e identità nazionale nell’età moderna e contemporanea, Unit of Turin University.

  2. 2.

    T. Viola to G. Vitali, Paris 14 January 1932, in Correspondence of G. Vitali, U.M.I (Italian Mathematical Society) Archives, Department of Mathematics, University of Bologna:“Illustre e caro Professore, Le mando un saluto cordiale dalla immensa e meravigliosa Parigi dove sono ormai da quasi tre settimane. Ho portati i Suoi saluti al prof. Lebesgue e alla torre d’Eiffel, i quali glieli ricambiano. (Quest’ultima veramente non me l’ha proprio detto, forse perché l’ho salutata soltanto da lontano, ma credo, così all’aspetto, di averne indovinata l’intenzione). Ho cominciato, a poco a poco, ad ambientarmi e, a questo scopo, non ho trovato nulla di meglio che di mettermi intensamente al lavoro. Frequento le conferenze al Collegio di Francia del Lebesgue (20 lezioni Sur quelques questions de construction géométrique) e dell’Hadamard (25 lezioni di Analyses de Mémoires scientifiques). Quelle del Lebesgue, veramente, le capisco un po’ poco, perchè sono venuto a metà corso, ma sono attraenti per l’esposizione molto brillante. Anche gli altri professori sono stati molto gentili: alcuni mi hanno fatto un’accoglienza addirittura cordiale. Il Denjoy mi ha fatto l’onore persino d’interessarsi delle mie funzioni continue verso destra e mi ha suggerito nuove idee. Così abbiamo intanto trovata una nuova proprietà (lui l’ha enunciata ed io l’ho dimostrata): la condizione necessaria e sufficiente affinchè un dato aggregato H possa essere l’aggregato dei punti di discontinuità di una funzione avente derivata destra ovunque nulla. Spero di poter continuare queste interessanti ricerche. Ho però l’intenzione di rivolgere la mia attività ad altri campi ed ho quindi adocchiato la teoria delle funzioni di variabile complessa: vedremo che cosa riuscirò a fare! Nel salutarla a Bologna dimenticai di ricordarle che io mi tengo a Sua disposizione per la correzione delle bozze del Suo libro sulla teoria delle funzione di variabile reale. Ella, se crede di servirsi della mia umile collaborazione, può mandarmi le bozze senz’altro all’indirizzo che le trasmetto. Ho ricevuto oggi la comunicazione del conferimento del “Premio Pincherle”. Ho immediatamente risposto al Rettore ringraziando. Mi permetta però, poichè so che Ella ha fatto parte della commissione giudicatrice, di ripeterle personalmente che Le sono grato di questo, come di tutto il bene che Ella ha più volte già fatto per me. Perdoni la confidenza che mi sono preso nella presente e mi creda, il suo dev.mo ed aff.mo Tullio Viola.”

  3. 3.

    Historical Archive Bologna University (abbrev. HABU), Dossier n. 2076.

  4. 4.

    HABU, Dossier No. 7224.

  5. 5.

    HABU, Dossier No. 7224.

  6. 6.

    The thesis is conserved in the form of a lithograph in Bologna (HABU, Dossier No. 7224) and in Torino in the library of the Department of Mathematics at the University of Torino, see [67].

  7. 7.

    Annuario della Regia Università di Bologna per l’anno accademico 1931–1932, Bologna, Tip. Neri, 1932, pp. 69–70. The “Pincherle Prize” had been established in 1921 to celebrate Salvatore Pincherle’s 40th year of teaching in Bologna. Cf. Premio Salvatore Pincherle, 9 January 1923, in HABU, BO II.F PINC S.

  8. 8.

    [83, p. 536]: Io ero laureato da pochi mesi in matematica pura ed assistente volontario al corso di Teoria delle funzioni, Vitali era al vertice della Sua carriera scientifica, sia per i riconoscimenti giuntigli, ahimè tanto tardivamente!, dalle più alte accademie italiane, sia per aver Egli avviato e, in parte, concluso la redazione dei Suoi trattati, sia infine per aver iniziato, con rinnovate, sorprendenti capacità creative, quelle ricerche di astronomia stellare (...) Vitali fu straordinariamente generoso e buono verso di me. Partendo dalla mia tesi di laurea, io stavo allora pubblicando i miei primi lavori sulle funzioni di variabile reale unilateralmente derivabili. Mi venne a cercare, parlò a lungo con me, mi regalò gli estratti delle sue più belle, più famose pubblicazioni sulla teoria degli insiemi e su quella delle funzioni di variabile reale, mi diede molti buoni consigli, ottenne che io mi aprissi con Lui circa l’insieme dei miei studi e dei miei progetti a venire, che Lo tenessi al corrente dei risultati, ahimè tanto modesti!, delle mie ricerche.

  9. 9.

    [83, p. 544]: Incancellabile resterà nella mia mente l’impressione che mi fece l’annunzio della Sua morte, annunzio che mi raggiunse a Parigi, durante un seminario al quale assistevo. “Vitali est mort”!, sentii mormorare da più parti. Pochi giorni dopo ricevetti direttamente da Bologna la dolorosa conferma: il Maestro era caduto, fulminato improvvisamente mentre passeggiava al braccio del collega Ettore Bortolotti, sotto i portici di quella dotta città nella quale avevo passato i più belli anni dei miei studi universitari e nella quale riposavano, e tuttora riposano le spoglie di coloro che mi hanno dato la vita.

  10. 10.

    On Levi’s scientific biography and works see [8, 39, 40, 57, 80] and on the relationships between Levi and Viola [19] and [8, p. XXXVI–XLIV].

  11. 11.

    On Vitali’s scientific biography, correspondence and works see [1, 2, 4, 62, 63, 66, 97].

  12. 12.

    Viola mentions two notebooks (Cf. Appendix, note 42 and p. 22) containing his own notes on Tonelli’s lectures on the Foundation of Calculus of Variations, but unfortunately these are now lost. On Tonelli’s teaching in Bologna see [5, 59, 61] and L. Cesari, L’opera di Leonida Tonelli e la sua influenza nel pensiero scientifico del secolo, in [49, pp. 41–73].

  13. 13.

    [95], p. 2, 5–6 – Opere, p. 398, 401–402: Ai giovani che si dedicano allo studio delle matematiche, io dirò che la abilità che si richiede per trovare gli artifici più convenienti e più eleganti si acquista con l’esercizio, coll’esaminare molti esempi, con lo sforzarsi di imitare. Imitare, ma non troppo, se non si vuole che la nostra scienza diventi una palude, immensa sì, ma stagnante, senza vita e senza movimento. Imitare dapprima per imparare, ma poi rinnovarsi. (...) Io amo, almeno quando vi riesco, trattare la scienza con una visione personale, e, sempre, quando mi è possibile, superare le opinioni correnti e prospettare i problemi sotto un aspetto nuovo. Ho l’impressione che alcune vie siano da lasciare, che alcuni abiti mentali siano da abbandonare, se non si vuole tarpare le ali al progresso. Anche alla scienza bisogna talvolta ripetere il grido di Caronte: per altra via, per altri porti verrai a piaggia, non qui per passare. Nelle mie funzioni di maestro spero di potervi indicare altre vie, se non altri porti.

  14. 14.

    On 26 September 1980, at the invitation of Emilio Baiada and Francesco Barbieri, Viola gave a lecture entitled Giuseppe Vitali e l’integrale di Lebesgue at the Mathematical Institute at the University of Modena which bears Vitali’s name; the lecture was not however published. We have discovered among Viola’s papers photocopies of four transparencies prepared for that occasion. On the 50th anniversary of Vitali’s death, Viola commemorated his Maestro with the lecture Ricordo di Giuseppe Vitali, a 50 anni dalla Sua scomparsa, in Cagliari on 1 October 1982 (see [41, 83]). On 15 February 1983 at the Department of Mathematics at the University of Milan Viola gave the lecture Come fu accolto e discusso in Italia l’integrale di Lebesgue nei primi decenni di questo secolo, of which only the transparencies remain. According to his notebook no. 55 (1983), p. 46 he is supposed to have given a short lecture on the history of Zermelo’s axiom and the opinions of Vitali, B. Levi and Tonelli in Cortona (Conference organized by the Istituto Nazionale di Alta Matematica, 26–29 April 1983), but this does not appear in the Symposia Mathematica XXVII, published in 1986, after Viola’s death on 22 November 1985.

  15. 15.

    The notebook is composed of 55 numbered pages. The notes and comments are mainly on odd-numbered pages, which some of the even-numbered pages are blank.

  16. 16.

    T. Viola, Notebook no. 55 (1983), p. 14: Giudizio complessivo su Vitali:“I lavori del concorrente dimostrano le buone cognizioni dell’Autore in vari rami dell’analisi, il suo acume nel trattare questioni delicate e non facili, giungendo a risultati interessanti, notevole chiarezza e sobrietà nella redazione. Il fatto stesso di essersi incontrato con uno dei creatori del nuovo indirizzo del calcolo integrale, il Lebesgue, prova come egli abbia saputo tenere in queste ricerche la via maestra, in cui tali risultati si presentavano naturalmente.” Terna: Levi Beppo, Cipolla Michele, Giambelli Giovanni Zenone. Commissari: Salvatore Pincherle, Luigi Bianchi, Gregorio Ricci Curbastro, Luigi Berzolari, Onorato Nicoletti. Concorso alla cattedra di Analisi Algebrica nell’Università di Parma (20.10.1910) (v. Bollettino Uff. del Ministero P. I. vol. XXXVIII, 1911, n. 3, pp. 2494–2508. Collocaz. Bibliot. Naz.le 16/1).

  17. 17.

    [14], p. 128 – Opere scelte, [15], vol. 3, p. 402:Quando Lebesgue scrisse la sua Tesi, Picard si rivolse al Dini, allora direttore degli Annali di Matematica, dicendogli che aveva una buona tesi di uno dei suoi allievi, che questa tesi studiava i fondamenti del calcolo, che tali fondamenti erano studiati principalmente in Italia, e che perciò sarebbe stato meglio che la tesi fosse pubblicata negli Annali. Io venni a conoscenza di questa lettera, e subito pensai che Picard non apprezzasse molto questo genere di ricerche. Neppure il Dini era convinto dell’importanza della tesi di Lebesgue, ma per aderire al desiderio di Picard, pubblicò il lavoro negli Annali. In tal modo il primo lavoro sul nuovo Calcolo fu pubblicato in un periodico italiano, il cui direttore non credeva ai nuovi metodi molto importanti per lo sviluppo della scienza. Per la storia, devo aggiungere che il Dini mutò opinione nei suoi ultimi anni. Questo cambiamento si deve alla definizione degli integrali di Lebesgue data dal Perron, definizione molto importante perchè non esige la nozione, nuova, della misura di un insieme, ma si fonda soltanto sulle definizioni più classiche. Per comprendere la forma mentis di quei tempi ormai lontani permettetemi di aggiungere che quando dissi ad un altro grande matematico italiano, il Bianchi, che l’insieme dei numeri razionali ha misura nulla, egli mi rispose canzonandomi e dicendo che studiavo solo i paradossi dell’infinito.

  18. 18.

    [67, p. 2]: Il problema della ricerca delle funzioni primitive, di fondamentale importanza per il Calcolo Integrale, ha indotto analisti moderni, quali ad es. il Dini, il Du Bois-Reymond ed in epoca recente il Lebesgue e il Denjoy, allo studio della operazione di “limite del rapporto incrementale” per funzioni continue. Cf. also [12, 20, 29, 30, 48, 53, 54, 56, 58].

  19. 19.

    [60, p. 248]: La teoria dell’integrale di Lebesgue è fondata su quella della misura dei gruppi di punti e delle funzini misurabili; e questa seconda teoria, nella forma generale datale dal Lebesgue, richiede per il suo svolgimento, l’uso del cosiddetto postulato delle scelte arbitrarie o postulato di Zermelo. Con l’ausilio di siffatto postulato, G. Vitali costruì, nel 1905, il primo esempio di insieme di punti non misurabile nel senso di Lebesgue. Peraltro, molti analisti non ammettono il postulato di Zermelo; ed anch’io ritengo insufficienti i ragionamenti che lo utilizzano. Per tale ragione, mi posi la questione di liberare la teoria della misura dei gruppi di punti e dell’integrazione dal postulato indicato; e nei miei Fondamenti di Calcolo delle Variazioni riuscii completamente allo scopo, introducendo gli insiemi, da me chiamati pseudointervalli , e le funzioni quasi-continue.

  20. 20.

    On the history of this axiom cf. [4, 19, 44, 46].

  21. 21.

    [89, p. 5]. Cf. also [19, p. 86].

  22. 22.

    [32, pp. 312–313]: Sia assegnato un dominio deduttivo \(\Omega \) , nel quale sia primo l’aggregato dei numeri reali (almeno l’aggregato dei numeri razionali); siano A, B, C, … aggregati definiti in esso e contenuti in aggregati primi in esso (tali quindi che sia permesso considerarne un elemento arbitrario). Sia invece E un aggregato primo non appartenente al dominio deduttivo \(\Omega \) , ciascun elemento del quale possa considerarsi costituito di infiniti elementi scelti in modo arbitrario negli aggregati A, B, C, … (eventualmente in alcuni soltanto di essi): sia assegnata una funzione \(f(x)\) rispetto alla quale il dominio D della x sia contenuto in E, mentre il corrispondente dominio F della funzione sia contenuto in un aggregato G, primo o non, appartenente o non a \(\Omega \) ; sia infine definita una funzione numerica d(y, z) delle coppie di elementi di G la quale sia nulla sempre e solo quando y=z; supponiamo che a sia un elemento di D tale che, assegnato ad arbitrio un numero \(\delta \) , fra gli elementi di A, B, C, … che costituiscono a, se ne possa fissare un numero finito n, tale che, indicando con a′,a′ due elementi qualunque di D aventi comuni con a i detti n elementi, sia sempre \(d(f(a'),f(a'')) < \delta \) . Noi consideriamo allora l’affermazione “f(a) esiste” come appartenente all’ampliamento naturale del dominio deduttivo.

  23. 23.

    [80, p. 515]: Il Levi non fu altrettanto felice, a nostro parere, in altri lavori di filosofia matematica, e più precisamente di logica, nei quali si lasciò andare ad osservazioni eccessivamente sottili, tanto da apparire (in qualche dettaglio) addirittura oscure, quasi dei curiosi giuochi di parole! (Levi was not as fortunate, in our opinion, in other works of mathematical philosophy, and more precisely, in logic, in which he allowed himself to make observations that were so excessively subtle that they even appeared (in some of their details) obscure, almost like curious plays on words!).

  24. 24.

    [71, p. 289]: Cf. [34, 40]. La considerazione dei singoli esempi d’applicazione del postulato di Zermelo nella teoria degli aggregati ci suggerisce di classificare tali esempi in due categorie: l’una comprende quelli nei quali si tratta di aggregati in generale, come per es. nella teoria dei numeri transfiniti, l’altra quelli nei quali si tratta particolarmente di aggregati di numeri reali (punti di spazi a una o più dimensioni). I primi non possono venir regolarizzati col principio di approssimazione perchè non possono dar luogo a considerazione di distanze o, in generale, di funzioni numeriche d(y, z) atte a definire ampliamenti naturali. I secondi, a priori , lo possono, ma anche per questi occorre esaminare attentamente, caso per caso, la convenienza o meno di adottare particolari funzioni numeriche regolarizzatrici d(y, z), aventi significato geometrico semplice, espressivo e soprattutto conforme al concetto di “approssimazione” nel parlare comune. Non sempre riesce trovare una tale funzione d(y, z) e ciò mostra più da vicino che il principio d’approssimazione ha carattere selettivo e una portata più limitata del postulato di Zermelo, come sopra si è detto.

  25. 25.

    [71, p. 290]: Si dice che P è punto limite di un aggregato A di punti se in ogni intorno di P esiste almeno un punto dell’aggregato A diverso da P. A questo riguardo una proposizione frequentemente affermata in cui si fa uso del postulato di Zermelo dice che esiste in A una successione di punti \({Q}_{1},{Q}_{2},\ldots,{Q}_{n},\ldots \) che tende a P.

  26. 26.

    [72, p. 75]: La somma d’una infinità numerabile di aggregati misurabili, non aventi due a due nessun punto in comune, è un aggregato misurabile e la sua misura è la somma delle misure dei singoli aggregati addendi.

  27. 27.

    [28, p. 115]: De la définition des ensembles mesurables il résulte que …

  28. 28.

    [28, p. 115]: il ne croyait pas avoir fait de choix sans loi!

  29. 29.

    [72, p. 78]: La semplificazione introdotta ha poi il vantaggio di eliminare completamente il postulato della scelta dalla seconda parte della dimostrazione. (The simplification introduced has then the advantage of completely eliminating the postulate of choice from the second part of the proof.)

  30. 30.

    [36, p. 201]: Pare allora conveniente di evitare questa scelta di secondo grado modificando leggermente la definizione delle famiglie normali col chiedere che si dica normale una famiglia E quando, assegnata arbitrariamente una successione di aggregati \({E}_{n}\,(n = 1, 2,...)\) di elementi di E, esistano successioni di funzioni uniformemente convergenti cui appartengono elementi contenuti in E n di indice elevato quanto si vuole.

  31. 31.

    [78, p. 75]: Il punto di vista da cui ci mettiamo potrebbe chiarmarsi “conciliativo”, in quanto cerca di dare una giustificazione di molti procedimenti matematici che fanno uso del noto postulato de E. Zermelo.

  32. 32.

    [78, pp. 75–76]: In altri casi, invece, il postulato di Zermelo viene effetivamente applicato in astratto, cioè senza precisazione del dominio deduttivo in cui si operano le scelte arbitrarie, ed è allora che la sua leggitimità ci pare discutibile. Tali sono ad esempio quasi tutte le proposizioni che s’incontrano nella teoria dei numeri transfiniti.

  33. 33.

    [78, p. 76]: Ampliare un ben determinato dominio deduttivo è, se si vuole sempre lecito e in molti casi può essere anche consigliabile, se non altro a scopo didattico, se le dimostrazioni ne guadagnano in semplicità e chiarezza.

  34. 34.

    [78, p. 76]: D’altronde dal punto di vista euristico, cioè come mezzo di ricerca, non sarebbe opportuno né forse possibile eliminare il postulato di Zermelo. Proposizioni come quelle che esamineremo ai numeri 5, 7 come il lemma del teorema di Vitali (n. 10) ed altre, sono state trovate con dimostrazioni assai semplici facendo uso del postulato di Zermelo; e noi riusciremo a confermarle liberandone totalmente le dimostrazioni dal detto postulato. Il progresso che noi desideriamo poi realizzare in una dimostrazione in cui l’uso del postulato di Zermelo sia indispensabile, consiste, se è possible, nel regolarizzare la dimostrazione mediante il principio di approssimazione. E mi pare che dal presente lavoro debba risultare evidente che il principio di approssimazione di Levi esprime in termini esatti e soddisfacenti il concetto intuitivo e d’altronde spesso un po’ vago che noi siamo soliti attribuire alla parola “approssimazione” (Cfr. Levi, p. 324) e non è una convenzione artificiosa che dissimuli il postulato di Zermelo medesimo. The reference is to the article [32], p. 324.

  35. 35.

    [83, p. 536]: A distanza di più di mezzo secolo, capisco che io non seppi approfittare, come avrei dovuto, dell’occasione che mi era stata offerta. Feci l’errore che fanno molti giovani, un errore stolto e del quale ebbi poi a pentirmi amaramente: quello di lasciarmi prendere dalla fretta di pubblicare, invece di dedicare la massima parte del mio tempo ad ampliare ed approfondire la mia cultura. Così accadde che lessi, ed anche con molto interesse ed ammirazione, le suddette pubblicazioni di Vitali, ma mi mancò la capacità di costruire i possibili collegamenti con quanto andavo cercando.

  36. 36.

    M. Picone to C. Miranda, Rome 2.6.1951, published in [18, p. 120]: Trattasi secondo il mio parere di un lavoro assai pregevole che arricchisce l’Analisi matematica di teoremi effettivamente e sostanzialmente nuovi. Mi piace molto, per esempio, il risultato secondo il quale una funzione di più variabili a variazione finita secondo Vitali è della prima classe di Baire.

  37. 37.

    [64], in [65, p. 259]: Egli [Laisant] deplora che anche per la Matematica (il che è tutto dire), la scuola continui malgrado tutto a essere piuttosto una palestra mnemonica che non un istituto di cultura intellettuale, che l’allievo sia ivi occupato troppo a imparare (apprendere, accipere) e troppo poco a capire (comprendere, concipere), che lo scolaro insomma venga considerato più come un recipiente da riempire che non come un campo da seminare, una pianta da coltivare, un fuoco da eccitare.

  38. 38.

    The transcripts are done by Clara Silvia Roero, as well as the notes and references in square brakets, denoted by the abbreviation (csr). The end of the page of the manuscript is indicated with  | | .

  39. 39.

    v. Pascal I 3, p. 1044. [Ref.: [84], cf. [25, 45], p. 1044. (csr)].

  40. 40.

    [Refs.: [25, 45], p. 1044; [22], vol. 1, pp. 159–171; [26] (csr)].

  41. 41.

    v. Pascal I 3 [Ref.: [85], cf. [25, 45], p. 1044. [Ref.: [42] (csr)].

  42. 42.

    Complementi, varianti, osservazioni critiche in Carathéodory, pp. 460–475. [Ref.: [3]. (csr)].

  43. 43.

    v. le 4 diverse forme in cui può essere espressa la condizione d’integrabilità secondo Riemann, nei miei appunti alle lezioni di Tonelli (Quaderno n. 1 pp. 1–14).

  44. 44.

    [Refs.: [28], p. 29, 2nd ed. 1928, p. 29; [25, 45], p. 1074. (csr)].

  45. 45.

    Complementi, Varianti, Osservazioni critiche, Riferimenti al loc. cit. di Pascal (v. Pascal, I 3 p. 1088) Cfr. Tonelli, Calc. d. Variaz. I p. 165. [Refs.: [87]; [25, 45], p. 1088; [59], vol. 1, p. 165. (csr)].

  46. 46.

    Una dimostrazione si trova in Tonelli, vol. 1 pp. 62–64. Ref.: [59, vol. 1, pp. 63–64]. (csr)].

  47. 47.

    v. C. Jordan, C. R. 92 (1881) p. 228, e “Cours d’analyse” 2 ediz., 1 (1893) p. 54. Anche H. Hahn, pp. 483–513. [Refs.: [23]; [24, p. 54], [21, pp. 483–513]. (csr)].

  48. 48.

    v. mio Taccuino 51.126, tema 218. [Viola’s notebook no. 51, p. 126:“218. Trovare una funzione crescente e continua in [0, 1], ma non assolutamente continua in nessun intervallo parziale di [0, 1] Generalizzare l’es. di Vitali, Sulle funzioni integrali, p. 1023 (Atti Torino, 40, 1904–05).”(csr)].

  49. 49.

    Dimostrazione apparentemente semplice in Tonelli (C. d. V. I, 165), perchè si basa su un lemma p. 153 relativo agl’integrali estesi a pseudointervalli. Altra dimostrazione apparentemente semplice in Lebesgue (II ediz. p. 158) perchè si basa su una teoria preliminare relativa alle funzioni additive d’insieme. Refs.: [59, vol. 1, p. 153–154, 165], [28, 2nd ed. 1928, p. 158]. (csr)].

  50. 50.

    Cf. [81, vol. 1, pp. 390–394]. (csr)].

  51. 51.

    [28, pp. 124–125]:“L’intégrale indéfinie d’une fonction sommable admet cette fonction pour dérivée sauf aux points d’un ensemble de mesure nulle.” (csr)].

  52. 52.

    [Ref.: [25], p. 1088. (csr)].

  53. 53.

    v. Enciclop. tedesca II 3, Parte II, p. 977 e Pascal I 3 p. 1042. Complementi e varianti in: H. Hahn pp. 575–580 e altri ivi p. 580 indicati; Carathéodory pp. 268, 349. v. i miei appunti allegati all’estratto. [Refs.: [88], [100, p. 977], [25,45, p. 1042] [21, pp. 575–580], [3, p. 268, 349]. (csr)].

  54. 54.

    [Ref.: [28, p. 103; 2nd ed. 1928, p. 110]. (csr)].

  55. 55.

    [Viola deleted here: “almeno nel caso restrittivo che ρ assuma una successione di valori in \(\mathbb{Q}\) .” He added in margin: “Va bene, perchè Q è per se stesso numerabile!” (csr)].

  56. 56.

    v. Pascal I 3 p. 1065. In Pascal loc. cit. riferimenti vari. Cfr. anche H. Hahn p. 565; C. Carathéodory pp. 403–413, in particolare p. 410, e p. 279. [Refs.: [89], [25,45, p. 1065], [21, p. 565], [3, p. 279, 403–413]. (csr)].

  57. 57.

    Per le funzioni di Baire e, in particolare, per la condizione necessaria e sufficiente affinchè una funzione sia di 1a classe di Baire, v. Pascal I 3 p. 1061. [Ref.: [25, 45], p. 1061]. (csr)].

  58. 58.

    [Ref.: [59, vol.1, p. 131]. (csr)].

  59. 59.

    Plurintervallo: successione (finita o no) d’intervalli parziali di [a, b], due a due non sovrapponentisi. Il plurintervallo è aperto, se ogni suo intervallo è considerato aperto. Dunque: f(x) è quasi continua in [a, b] (secondo le “Lezioni”) se, \(\forall \epsilon > 0\), è possibile costruire un plurintervallo aperto \(\Delta \subset [a,b]\), e di \(mis\,\Delta < \epsilon \), a prescindere dal quale f(x) è continua.

  60. 60.

    Per vari riferimenti, v. Hobson [Refs.: [92], [22, vol. 1, p. 536; vol. 2, pp. 282, 289, 297, 309]. (csr)].

  61. 61.

    Ivi afferma essersi ispirato al proprio lavoro: “Sopra la serie di funzioni analitiche”, Cap. 3, Annali di Matematica, s. 3, 10, 1904. [Refs.: [86, 90]. (csr)].

  62. 62.

    Cioè la serie sia tale che, \(\forall G \subseteq E\) , esistano e siano uguali

    $$\sum\limits_{n=1}^{\infty }{\int}_{G}{u}_{n}(x)\,\mathrm{d}x\mbox{ e }{\int}_{G}\sum\limits_{n=1}^{\infty }{u}_{n}(x)\,\mathrm{d}x.$$
  63. 63.

    Cioè la serie sia tale che, ∀x ∈ (a,b], esistano e siano uguali

    $$\sum\limits_{n=1}^{\infty }{\int}_{a}^{x}{u}_{n}(x)\,\mathrm{d}x\mbox{ e }{\int}_{a}^{x}\sum\limits_{n=1}^{\infty }{u}_{n}(x)\,\mathrm{d}x.$$
  64. 64.

    V. ivi n. 8. [Refs.: [92, p. 147–148; Opere, 247–248]. (csr)].

  65. 65.

    V. Vitali p. 1518 − 6, Hobson vol. II p. 536. [Refs.: [92, p. 151; Opere, p. 251], [22, vol. 2, p. 526]. (csr)].

  66. 66.

    [Ref.: [31, p. 779]. (csr)].

  67. 67.

    Mem. Acc. Bologna, s. V, vol. 8, pp. 3–58. Cfr. Tonelli, Calc. d. Variaz. I pp. 76–77. [Ref.: [59, vol. 1, pp. 76–77]. (csr)].

  68. 68.

    v. Pascal I 3 p. 1043. Ivi Erich Kamke espone per \(\mathfrak{R}\), con grande semplicità, quanto Carathéodory (Reelle Funktionen 1918 pp. 299–307) ha fatto per uno spazio euclideo \({\mathfrak{R}}_{n}\) a un numero qualunque n di dimensioni. (La questione di cui Carathéodory parla ivi, in nota a p. 304, è stata risolta?). Per i teoremi di Pincherle-Borel, di Borel-Lebesgue, e di Lindelöf, v. in Carathéodory, rispettivamente alle pp. 42, 45, 46. Pascal I 3. [Refs.: [93], [25, 45, pp. 1043–1044], [3, pp. 42, 45, 46, 299–307]. (csr)].

  69. 69.

    [Ref.: [92]. (csr)].

  70. 70.

    Dunque \({\mathcal{M}}_{\epsilon } \subseteq \mathcal{M},\ \forall \epsilon \). Inoltre, se \(\epsilon ' < \epsilon \), è \({\mathcal{M}}_{\epsilon '} \subseteq {\mathcal{M}}_{\epsilon }\).

  71. 71.

    [Refs.: [25, 45, p. 1043], [3, p. 299]. (csr)].

  72. 72.

    Carathéodory sostituisce questa condizione con altra (e il risultato è da lui chiamato “merkwürdig”). [Ref.: [3, p. 300]. (csr)].

  73. 73.

    [Ref.: [94]. (csr)].

  74. 74.

    B. Levi, Sulla definizione dell’integrale (Annali di Matematica, s. 4, 1, 1923–1924, p. 58). [Cf. [33, pp. 61–66].  (csr)].

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Acknowledgements

To conclude, we wish to thank Giovanna and Carlo Viola for having put at our disposal the letters, notebooks and some books of their father’s, Sandra Linguerri for having sent us material from the Archives of the University of Bologna regarding Viola’s academic career and Sergio Garbiero, Sergio Console and Ernesto Buzano for their help with formulas and figures in the Appendix.

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Authors and Affiliations

  1. Department of Mathematics G. Peano, University of Turin, via Carlo Alberto 10, I 10123, Turin, Italy

    Clara Silvia Roero

  2. Department of Mathematics, Université Paul Sabatier, Toulouse, France

    Michel Guillemot

Authors
  1. Clara Silvia Roero
    View author publications

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  2. Michel Guillemot
    View author publications

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Corresponding author

Correspondence to Clara Silvia Roero .

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Editors and Affiliations

  1. Piazza Porta S. Donato 5, Bologna, 40126, Italy

    Salvatore Coen

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© 2012 Springer Basel AG

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Roero, C.S., Guillemot, M. (2012). Tullio Viola and his Maestri in Bologna: Giuseppe Vitali, Leonida Tonelli and Beppo Levi. In: Coen, S. (eds) Mathematicians in Bologna 1861–1960. Birkhäuser, Basel. https://doi.org/10.1007/978-3-0348-0227-7_16

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