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Schröder’s Proof of CBT

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Proofs of the Cantor-Bernstein Theorem

Part of the book series: Science Networks. Historical Studies ((SNHS,volume 45))

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Abstract

Schröder’s 1898 paper, “Over two definitions of finitude and G. Cantor’s theorems”, had two aims: (1) To transcribe to Schröder’s pasigraphic system the basic notions of set theory, such as finite and infinite, subset, equivalence, mapping and simple order (Cantor 1895 Beiträge). (2) To derive the basic relations among these notions by “analytic” considerations, that is, by manipulations of the pasigraphic formulas. The centerpiece of the paper is, however, a discussion around §2 of Cantor’s 1895 Beiträge, in which the inequality relation between cardinal numbers is defined and the Comparability Theorem for cardinal numbers (Theorem A) is stated, along with its corollaries B-E (see Chap. 4). In this context Schröder suggested his proof of CBT, which we reproduce in detail.

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Notes

  1. 1.

    Schröder compares the complementary notions ‘finite’ and ‘infinite’ as defined by Dedekind, in his Zahlen (1963), and Peirce, in his 1885 paper. Cantor’s definition (no source is mentioned) is mistakenly identified by Schröder with that of Dedekind, perhaps because of Cantor’s 1878 Beitrag, ignoring 1895 Beiträge §5, 6.

  2. 2.

    Korselt’s proof of CBT, provided in the same 1911 paper, we describe in Chap. 25, together with his solution to a problem raised by Schröder.

  3. 3.

    See Brady 2000, Chap. 7 and appendices, for an introduction on Schröder’s logic and translation of a selection from Schröder1895.

  4. 4.

    For Schröder ‘:’ is just a separator, as ‘,’ is currently used.

  5. 5.

    The inverse relation Schröder denotes by a small arc placed above the sign for the relation; we use the -1 exponent.

  6. 6.

    For a Schröderian set a we will denote by a the corresponding Cantorian set.

  7. 7.

    “die Mengen so als ob sie Punktmengen wären durch parallele Strecken darstelle und deren Endponkte jeweils zu einem Trapez verbinde. Freilich können von vornherein die Mengen auch irgendwelche Elemente gemein haben. Die letzteren sind dann (wie Pnnkte) eben doppelt: als Objekte und als Bilder in der Figur eingetragen zu denken.”

  8. 8.

    Perhaps he had in mind something that operates like scissors [Schere], and is used, for instance, to grip an object on a higher shelf. Another possibility is the toy called Jacob’s ladder, see http://en.wikipedia.org/wiki/Jacob%27s_ladder_(toy).

  9. 9.

    “ich projizire bis ins Unendliche fort auch die Projetionen b 1 , a 1 der Mengen a, b (aufeinander) und wiederum deren Projektionen a 2 , b 2 , sodann auch die Projektionen b 3 , a 3 von diesen, etc. immerfort je [338] nach demselben Prinzipe x resp. y, nach welchem schon deren Ganzmengen a resp. b projizirt wurden.”

  10. 10.

    Note that Schröder calls ‘projections’ the images of the sets; Borel will call projections the mappings between the sets (see the next chapter).

  11. 11.

    “relative Produkt”; we bring the common translation though perhaps it would better be translated as ‘product of relations’.

  12. 12.

    In the parts after the middle ellipsis there is seemingly a typo in the original: the x and y are interchanged.

  13. 13.

    It seems that Schröder means by ‘eye’ a pair, and by ‘matrix’ the set of pairs of the binary relation.

  14. 14.

    “ist es nach meinen Untersuchungen (Bd. 3 [Schröder1895] p 180 sqq.) hinreichand, dass entweder die Leerstellen oder die (mit Auge) besetzten Stellen der Matrix von u λ sich als “definitive ” erweisen, die nämlich bei wachsendem λ sich permanent als ebensolche forterhalten. Ist etwa allgemein u λ ⊆u λ+1 , so findet das letztere statt, indem sich jedes Auge von u λ , auch beim u λ+1 und [341] bei allen höheren u λ finden muss; die Grenze u ∞ wird dann zunehmend (“monoton” wachsend) erreicht. Wenn dagegen allgemein u λ+1 ⊆u λ ist, so muss jede Leerstelle von u λ auch eine solche von u λ+1 und allem folgenden u λ sein und der Grenzwert u ∞ wird (“monoton”) abnehmend erreicht. Dieser Fall nun liegt bei jedem unsrer vier Relative 57) [our (*)] vor.”

  15. 15.

    “aber alle ungeraden a, d. h. alle a 2λ+1 , mit a 2∞ alle geraden a, d. h. alle a 2λ , gleichmächtig seinmüssten, so ist mit a 2∞+1  = a ∞  = a 2∞ auch die Gleichmächtikeit jener mit diesen, somit die sämtlicher a λ erwiesen”.

  16. 16.

    “Man kann nicht ohne weitres behaupten, dass die Relativpotenzen (y;x) λ und (x;y) λ selbst konvergiren müssten. Dies braucht nur bei dem Teile dieser Relative zuzutreffen, der auf die Mengen a, b etc., intern wirksam ist, d. h. genauer: der in die Kolonnen des Konversen von y;b und a resp. x;a und b und zugleuich in die Zeilen des andern Mengenpaars hinheinfält. Erst mittelst geelgneter Einschränkung der Abbildungsprinzipien x, y durch die S. 323 erwähnten Adventivbedingungen dürfte es hinzubringen sein, dass auch jene Potenzen gelbst konvergiren.”

  17. 17.

    For the intersection of sets Schröder just juxtaposes the sets.

  18. 18.

    There is a typo here in the original and the middle y appears as y-1.

  19. 19.

    “wie wenn man für eine lineare Punktmenge auf einer Geraden zwischen den Schenkeln eines Winkels – durch Parallelverschiebung dieser Geraden bis in den Scheitel hin – die Gleichmachigkeit derselben mit, diesem Scheitelpunkte beweisen wollte.”

  20. 20.

    Korselt (1906 p 218) criticizes as unacceptable a similar passage to infinity made in Schoenflies 1906 p 25, though, it seems to us, Schoenflies did not commit the error made by Schröder and his definition of S ω there can be corrected. See our reference above to Harward.

  21. 21.

    On Russell’s view of Schröder see Anellis 1990/1991. On Wiener’s view of Russell’s view of Schröder, see Grattan-Guinness 1975 and Brady 2000. For Frege’s view on Schröder see Frege 1895. On Peirce’s view on Schröder see Dipert 1990/1991, p 15.

  22. 22.

    Grattan-Guinness (2000, p 171) added his own opinion on Schröder’s discussion that it was with “painstaking detail”.

  23. 23.

    Note, and Schröder was aware of this, that Cantor only presented the non-trivial case, as he considered only proper subsets.

  24. 24.

    We are using ∃ instead of Schröder’s Σ.

  25. 25.

    See our note on Schröder’s explication of his first drawing regarding the possible diffusion of the subsets in the set. For an example of Schröder’s aptitude for pictorial descriptors, from 1890, see Peckhaus 2004a, p 582. Incidentally, theorem 21 had a nice future, see Sect. 25.2.

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  1. The Cohn Institute for the History and Philosophy of Science and Ideas, Tel Aviv University, Tel Aviv, Israel

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Hinkis, A. (2013). Schröder’s Proof of CBT. In: Proofs of the Cantor-Bernstein Theorem. Science Networks. Historical Studies, vol 45. Birkhäuser, Basel. https://doi.org/10.1007/978-3-0348-0224-6_10

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