Konstruktion von Maßen

Zusammenfassung

Sei A eine σ-Algebra auf S mit Erzeuger ɛ und sei

$$ \pi :\varepsilon \to {\mathbb{R}_ + } $$

eine Abbildung, die jedem Element E des Erzeugers als Wert eine nichtnegative Zahl π(E) zuordnet (möglicherweise den Wert ∞). In diesem Abschnitt wollen wir Bedingungen angeben, unter denen sich π zu einem Maß μ auf A fortsetzen lässt. In Anlehnung an Carathéodory fragen wir genauer, unter welchen Umständen dazu die π zugeordnete Abbildung

$$ \mu :\mathcal{A} \to {\mathbb{R}_ + } $$

genutzt werden kann, gegeben durch

$$ \mu :(\mathcal{A}): = inf\left\{ {\sum\limits_{m \geqslant 1} {\pi ({\rm E}_m )} :{\rm E}_1 ,{\rm E}_2 ,... \in \varepsilon ,\mathcal{A} \subset \mathop \cup \limits_{m \geqslant 1} E_m } \right\}. $$

Wie üblich setzen wir dabei inf ∅ ≔ ∞. (Wir schließen damit an die Erörterungen über Regularität von Maßen in Kapitel VII an, benötigen diese im Folgenden aber nicht.)