Zusammenfassung
Bis Mitte Oktober 1929 hatte Gödel alles getan, um seine Promotion abzuschließen und die Ergebnisse zu veröffentlichen, und er konnte nur darauf warten, dass der Doktortitel offiziell verliehen wurde – was tatsächlich Anfang Februar 1930 geschah. In der Zwischenzeit musste er darüber nachdenken, wie seine Karriere weitergehen würde. Es ist klar, dass er beabsichtigte, in Wien zu bleiben und Dozent und schließlich Professor an seiner alma mater zu werden. Vor 1929 hatte er sich wahrscheinlich nicht allzu sehr um sein Einkommen gesorgt, da er in einer wohlhabenden Familie aufgewachsen war, in der alle seine Bedürfnisse erfüllt wurden. Aber nach dem Tod seines Vaters Anfang 1929 begann er vielleicht mehr über die Zukunft nachzudenken. Seine Mutter war durch das Testament seines Vaters gut versorgt, und sein Bruder Rudolf hatte bereits einen Beruf, der zumindest ein angemessenes Einkommen versprach. Für den Moment war noch genug im Erbe von Rudolf und Kurt, um ihren täglichen Bedarf zu decken, der großzügig, aber nicht extravagant war. Aber für die mittelfristige Zukunft müsste Kurt seinen Qualifikationsprozess fortsetzen – mit dem Ziel der Habilitation, einer Art „Super-Doktorgrad“, der es ihm ermöglichen würde, sich für eine Lehr- und Forschungsposition an einer österreichischen Universität zu bewerben.
This is a preview of subscription content, log in via an institution to check access.
Access this chapter
Tax calculation will be finalised at checkout
Purchases are for personal use only
Notes
- 1.
Carnap (1963), Auflage von 1997, S. 29.
- 2.
Rosser u. Kleene, Princeton-Interview, in: The Princeton Mathematics Community in the 1930s, Transcript Number 23 (PMC23). Interview durch William Aspray, 1985. Im Internet bei: https://web.math.princeton.edu/oral-history/c21.pdf.
- 3.
Dawson (1997), Auflage 2005, S. 63 und Anmerkung [147].
- 4.
Die Bezeichnung ‚Arithmetisierung‘ datiert vom späteren 19. Jhdt. (Kronecker, Konstructivisten-Schule) und ist allgemeiner.
- 5.
Wang (1987), S. 84.
- 6.
Dawson, op. cit., S. 58, 59 und 61.
- 7.
Dies bezieht sich auf ‚The Concept of Truth in Formalized Languages‘ von A. Tarski, zuerst in Polnisch 1933 veröffentlicht, dann als Sonderdruck (Deutsch, 1935), später als ‚Der Wahrheitsbegriff in den formalisierten Sprachen‘ in Studia Philosophica, Band I (1936), S. 261–405, und schließlich auf Englisch in Tarskis Buch, ‚Logic, Semantics, Metamathematics‘ (Oxford, 1956).
- 8.
Vgl. Dawson, op. cit., S. 67, Anmerkung [5].
- 9.
Zitiert von Dawson, op. cit., S. 61.
- 10.
Hilbert zitiert hier eine frühere Bemerkung von DuBois-Reymond; vgl. Franzén (2005), S. 16. Die lateinische Phrase bedeutet „Wir werden nicht unwissend (sein)“.
- 11.
Siehe z. B. die Stanford Encyclopedia of Philosophy, Artikel über ‚The Continuum Hypothesis‘, von Peter Koellner (2013). Im Internet bei: https://plato.stanford.edu/entries/continuum-hypothesis/.
- 12.
Nagel und Newman (1958), Auflage 2001, Kapitel VI.
- 13.
Siehe Verena Huber-Dyson, Interview in The Edge, betitelt ‚Gödel and the Nature of Mathematical Truth‘, aufgenommen 25.07.2005: [Huber-Dyson (2005)]. Konsultiert im Februar 2022.
- 14.
Ibid., im Internet bei: https://www.edge.org/3rd_culture/vhd05/vhd05_index.html.
- 15.
- 16.
Vgl. Wang, op. cit., S. 87.
- 17.
Dies ist klar im Falle Russells, der es selbst in seiner Autobiografie [Russell (1967–1969)] zugegeben hat. Der Fall von Wittgenstein ist eher kontrovers. In seinen 1956 (posthum) veröffentlichten Bemerkungen über die Grundlagen der Mathematik [Wittgenstein (1956)] gibt es einen ‚berüchtigten Absatz‘ (‚the notorious paragraph‘), in dem er sich mit Gödels 1. Unvollständigkeitssatz beschäftigt. Seine Äußerungen dort wurden von vielen Autoren nach der Veröffentlichung als Hinweis interpretiert, dass er Gödels Satz nicht verstanden hatte; aber etliche Kommentatoren der neueren Zeit weisen diesen Schluss zurück und verteidigen Wittgenstein. Siehe Victor Rodych über ‚Wittgenstein’s Philosophy of Mathematics‘ in der Stanford Encyclopedia of Philosophy (2018) sowie die darin enthaltenen Literaturhinweise.
- 18.
Sebastian Bader, ‚Gödel’s Incompleteness Theorems‘, Beitrag zum Knowledge Representation and Reasoning Seminar, Dresden, 25. April 2006 (GK334, DFG). Im Internet bei: http://logic.amu.edu.pl/images/f/f2/Sebastianbader.pdf.
- 19.
Smith (2007/2020).
- 20.
Zitiert aus [18], op. cit.
- 21.
Dieses Beispiel wurde auch in Nagel und Newmans Artikel im Scientific American vom Juni 1956 verwendet; dieser war der Samenkorn ihres späteren Buches (1958). Dort, in ihrem Artikel, ist ein amüsanter Fehler passiert: die drei Primfaktoren sind richtig angegeben worden, aber bei der Berechnung ihrer Zahlenwerte wurde der mittlere Faktor als 53 anstatt 35 ausgewertet, d. h. als 125 anstatt 243. Die daraus resultierende Zahl ist g′ = 125.000.000. Diese ist in der Tat auch eine Gödel-Nummer, aber sie kodiert nur ein Fragment, „0)“. Ob die Leser diesen Fehler bemerkt haben, ist unbekannt; er wurde in einem erratum in der übernächsten Nummer der Zeitschrift vom August 1956 korrigiert, vermutlich durch die Autoren. Es gab einige Leserbriefe in der September-Nummer, aber sie betrafen nur die Typografie (Unterscheidung zwischen Aussagen der Metasprache und denen der Objektsprache) sowie eine Analogie aus einem Schachspiel.
- 22.
Smith, op cit., S. 138–142.
- 23.
Siehe z. B. Zermelo, E. (1908), ‚Untersuchungen über die Grundlagen der Mengenlehre, I‘, Mathematische Annalen, Band 65, S. 261–281, sowie Levy, A. (1979), ‚Basic Set Theory‘, Springer, New York/Heidelberg 1979.
- 24.
- 25.
So bezeichnet durch die Analogie mit dem Lemma, welches in die Zahlentheorie von Georg Cantor 1891 eingeführt wurde.
- 26.
- 27.
Kripke (2021): ‚Gödel’s Theorem and Direct Self-Reference‘. Saul A. Kripke, Vorabdruck im arXiv:2010.11979v2 [math.LO] 7 (Juni 2021). Im Internet unter https://arxiv.org/pdf/2010.11979.pdf.
- 28.
Wir vereinfachen hier das Argument, das Gödel in seinem (1931) verwendete, um es intuitiv klarer zu machen. Im Original hat er eine ‚Ordnungsrelation‘ R(n) definiert, die Sequenzen von Symbolen in dem betrachteten formalen System (z. B. Gödels System P) ordnet; diese stellen Formeln dar (mit einem freien Variablen) – Gödel nennt sie ‚Klassenzeichen‘. Für irgendeines willkürliches Klassenzeichen α, ist [α;n] die Formel, die α mit dem Argument n darstellt. Eine dreifache Relation x = [y;z] [oder, mit einer moderneren Notation, x ⇔ y(z)] kann auch in dem System definiert werden. Gödel definiert dann eine Klasse (oder Menge) K von Zahlen n durch: n ∈ K ≡ \( \overline{Bew} \) [R(n); n] (moderne Notation: K = { n ∈ ℕ | ¬ Bew [R(n);n]}, d. h., K ist die Menge aller Zahlen n, wofür die Formel R(n) nicht beweisbar ist, wenn n als ihr eigenes Argument benutzt wird. Die Funktion [R(q);q] für irgendeine bestimmte q wird dann zu einem nicht-entscheidbaren Satz im System P. Dies ist ein indirekt selbst-referenzieller Satz, der in Wirklichkeit sagt ‚Ich bin nicht beweisbar innerhalb von P‘. Vergleiche [Kripke (2021)] (Anmerkung [27]). Gödel ist sehr bemüht zu zeigen, dass er kein zirkulares Argument verwendet, wenn er diesen Satz definiert [vgl. Fußnote [15] in seinem (1931)].
- 29.
‚Prim‘ (englisch) bedeutet ‚pedantisch sauber‘, nicht zu verwechseln mit dem deutschen ‚Primzahl‘ (engl. ‚prime number‘).]
- 30.
Beachte: Hofstadter verwendet ein anderes Kodierungsschema; in seinem Schema bedeutet der Code 2 ‚0‘, und Code 6 bedeutet ‚=‘. Daher hat die einfache Gleichung „0 = 0“ bei ihm die Gödel-Nummer 72900, kompakter (im Falle dieses Beispiels) als die Kodierung von Nagel u. Newman.
- 31.
Vgl. [Sieg (2005)], S. 175.
- 32.
Zitiert von Kleene (1976), dort verwendet aus einem Artikel in den New York Times von 15. März 1951, S. 31, über den Einstein Award für Gödel und Schwinger in jenem Jahr.
- 33.
Kurt Gödel: Collected Works, Band I (1986), Hrsg. Feferman, Dawson et al.; Ref. 5 in Anhang B.
- 34.
Wang, op. cit., S. 87.
- 35.
Siehe Schimanovich und Weibel (1997).
- 36.
Dawson, op. cit., S. 77.
- 37.
Zitiert von Wang, op. cit., S. 88.
- 38.
Dawson, op. cit., S. 75.
- 39.
Vgl. Wang, op. cit., S. 89 ff., sowie Dawson, op. cit., S. 76.
- 40.
Diese Korrespondenz wurde um die Zeit von Gödels Tod wiederentdeckt, und darüber ist berichtet worden, mit Kopien von Gödels Brief an Zermelo (12. Oktober) und Zermelos Antwort am 29. Oktober, von I. Grattan- Guinness (1979), inclusive den gesamten Text beider Briefe in englischer Übersetzung. Der ursprüngliche Brief von Zermelo (vom 21. September) schien verloren zu sein, jedoch wurde er später in Gödels Nachlass entdeckt, und sein Text (mit Übersetzung) ist 1985 von J.W. Dawson veröffentlicht worden. Vgl. [Gratan-Guinness (1979)] sowie [Dawson (1985)].
- 41.
Siehe Wang, op. cit., S. 91, für Zermelo über Gödel.
- 42.
Constance Bowman Reid (1918–2010) war eine Autorin, die auf einführenden Lehrbüchern der Mathematik sowie biografischen und historischen Schriften über Mathematikern spezialisiert war, unter den letzteren David Hilbert.
- 43.
Dawson, op. cit., S. 72.
- 44.
Ibid., S. 73 und Anmerkung [162].
- 45.
Ibid., S. 81.
- 46.
Budiansky (2021) vermutet, dass die Wiener Universität allerdings eine vier-Jahres-Regel (S. 137) hatte, und „für Gödel eine Ausnahme machte“, aber dafür gibt er keine Quelle an.
- 47.
Wang, op. cit., Dawson, op. cit.; siehe auch Anmerkungen [41] und [43], dieses Kapitel.
- 48.
Wang, ibid., S. 92–94.
- 49.
Dawson, op. cit., S. 86–89.
- 50.
Wang, op. cit.; dort zitiert aus [Christian (1980)], S. 261 und 263.
- 51.
Dawson, op. cit., S. 86–89.
Literatur
Budiansky 2021: Journey to the Edge of Reason: The Life of Kurt Gödel. Stephen Budiansky, W.W. Norton/Oxford Univ. Press/Ullstein (2021). ISBN: 978-1-324-00544-5.
Carnap 1963: ‘The Philosophy of Rudolf Carnap’. Hrsg. Paul Arthur Schilpp, Band XI der Library of Living Philosophers. Open Court Publishing, Peru IL (1963). Wiederaufgelegt 1997.
Christian 1980: Leben und Wirken Kurt Gödels, Curt Christian. In: Monatshefte für Mathematik, Band 89 (1980), S. 261–273.
Davis, Hrsg. 2006: The Incompleteness Theorem, Martin Davis. In: Notices of the AMS, Band 53, Nr. 4 (April 2006), S. 414–418. Im Internet bei: http://www.ams.org/notices/200604/200604-toc.html.
Dawson 1985: ‘Completing the Gödel-Zermelo Correspondence’. John W. Dawson, Jr, in: Historia Mathematica, Band 12, Nr. 1, S. 66–70 (1985). Dawson 1988: Kap. IV, ‚The Reception of Gödel,s Incompleteness Theorems‘, in [Shanker, Hrsg. (1988)].
Dawson 1997: Logical Dilemmas: The Life and Work of Kurt Gödel. John W. Dawson, Jr., Taylor & Francis; Auflage CRC Press (2005). ISBN 1-568-8-1256-6. [Deutsche Version (ISBN-13: 978-067-1-73335-3), Übersetzer J. Kellner, Springer 1999].
Enderton 1972: ’A Mathematical Introduction to Logic’, Herbert B. Enderton, Harcourt/Academic Press, Burlington/MA (1972, 2001), ISBN 0-12-238452-0.
Feferman 1960: ‘Arithmetization of Metamathematics in a General Setting’. Solomon Feferman, in: Fundamenta Mathematicae, Band 49 (1960), S. 35–92.
Feferman 1997: ‘My Route to Arithmetization’. S. Feferman, in: Theoria, Band 63 (1997), S. 168–181.
Franzén 2005: ‘Gödel’s Theorem. An Incomplete Guide to its Use and Abuse’. Torkel Franzén, CRC Press (2005). ISBN 978-1-56881-238-0.
Gödel 1930: ‚Die Vollständigkeit der Axiome des logischen Funktionenkalküls‘. Kurt Gödel, in: Monatshefte für Mathematik und Physik, Band 37 (1930), S. 349–360. Siehe auch Anhang A.
Gödel 1931: ‚Über formal unentscheidbare Sätze der Principia Mathematica und verwandter Systeme I‘. Kurt Gödel, in: Monatshefte für Mathematik und Physik, Band 38 (1931), S. 173–198.
Gödel 1936: ‚Über die Länge von Beweisen‘, Kurt Gödel, in: Ergebnisse eines Mathematischen Kolloquiums (1936), S. 23–24.
Gödel 1951: ‘Some basic theorems on the foundations of mathematics and their implications’. Kurt Gödel, in den Collected Works, Band III, S. 304–323. [Gödel *1951].
Gödel 1958: ‚Über eine bisher noch nicht benützte Erweiterung des finiten Standpunktes‘. Kurt Gödel, in: Dialectica, Band 12, Heft 3–4 (December 1958), S. 280–287.
Goldstein 2005: Incompleteness: The Proof and Paradox of Kurt Gödel (Great Discoveries). Rebecca Goldstein, Atlas Books (2005), W.W. Norton (2006). ISBN 978-0-7394-5744-3. Vgl. auch Ref. 30 in Anhang B.
Grattan-Guinness 1979: ‚In Memoriam Kurt Gödel: His 1931 Correspondence with Zermelo on his Incompletability Theorem‘. Ivor Grattan-Guinness, in: Historia Mathematica, Band 6, S. 294–304 (1979).
Hilbert u. Ackermann 1928: Grundzüge der theoretischen Logik (HA). David Hilbert und Wilhelm Ackermann. Springer-Verlag, Heidelberg/Berlin (1928). Wiederaufgelegt 1959. Englische Übersetzung: Principles of Mathematical Logic, Hilbert u. Ackermann, Übers. L.M. Hammond, G.G. Leckie, und F. Steinhardt. AMS Chelsea Publishing, Providence RI (1999). ISBN 978-0-8218-2024-7.
Hilbert u. Bernays 1939: Der 2. Band von ‚Grundlagen der Mathematik‘, ein zweibändiges Werk über die Grundlagen der Mathematik; der 1. Band erschien 1934. Ein detaillierter Beweis von Gödels zweites Unvollständigkeitstheorem wurde (vermutlich von Bernays) im 2. Band gegeben: D. Hilbert und P. Bernays (neue Auflage, 1970), ‚Grundlagen der Mathematik II‘, in der Reihe ‚Die Grundlehren der mathematischen Wissenschaften‘, Band 50 (2. Aufl.), Springer-Verlag, Berlin, New York (1970). ISBN 978-3-64286-897-9.
Hintikka 1999: On Gödel. Jaakko Hintikka, Wadsworth, Belmont/CA (2000). ISBN 0-534-57595-1. Vgl. Ref. 16 in Anhang B.
Hofstadter 1979: Gödel, Escher, Bach. An Eternal Golden Braid. Douglas R. Hofstadter, Penguin Philosophy Series (1979) (reprinted 1980). ISBN: 978-0-465-02685-2. GEB was re-issued in 1999. Siehe Ref. 3 in Anhang B. Die erste deutsche Auflage erschien 1985; vgl. Anhang B.
Hofstadter 2007: ‘I am a Strange Loop‘. Douglas R. Hofstadter, Basic Books, NY (2007). ISBN: 978-0-465-03078-1. Deutsche Auflage s. Anhang B, Ref. 3.
Huber-Dyson 2005: Interview in The Edge, betitled ‘Gödel and the Nature of Mathematical Truth’, vom 25.07.2005. Im Internet bei: https://www.edge.org/3rd_culture/vhd05/vhd05_index.html.
Kleene 1976: The Work of Kurt Gödel, Stephen C. Kleene. In: The Journal of Symbolic Logic, Band 41, Nr. 4 (Dec. 1976), S. 761–778.
Kripke 2021: ‘Gödel’s Theorem and Direct Self-Reference’. Saul A. Kripke, preprint in arXiv:2010.11979v2 [math.LO] 7. Jun 2021. Siehe: https://arxiv.org/pdf/2010.11979.pdf.
Myhill 1952: ‘Some Philosophical Implications of Mathematical Logic’. John Myhill, in: Review of Metaphysics, Band 6 (1952), S. 165–198.
Nagel u. Newman 1956: Gödel’s Proof. Ernest Nagel und James R. Newman, in Scientific American, Band 194, Nr. 6 (June 1956), S. 71–90.
Nagel u. Newman 1958: Gödel’s Proof. Ernest Nagel and James R. Newman. NYU Press, 2001. (Ursprünglich 1958 publiziert; wiederaufgelegt 2001, 2005, 2008). ISBN 978-0-814-75816-8.
Quine 1962: ‘Paradox’. W.V.O. Quine, in Scientific American, Band 206, Nr. 4. Wiederaufgelegt als „The Ways of Paradox“: The Ways of Paradox and Other Essays. Cambridge: Harvard University Press (1966), S. 1–21.
Quine 1987: ‘Paradoxes’. W.V.O. Quine, in ‘Quiddities: An Intermittently Philosophical Dictionary’, Harvard University Press, Cambridge MA (1987), S. 145–149. ISBN 0-674-74352-0.
Raatikainen 2020: ‘Gödel’s Incompleteness Theorems’. Panu Raatikainen, in: the Stanford Encyclopedia of Philosophy, im Internet bei: https://plato.stanford.edu/entries/goedel-incompleteness/#:~:text=The%20first%20incompleteness%20theorem%20states,disproved%20in%20%5C(F%5C).
Rosser 1936: ‘Extensions of Some Theorems of Gödel and Church’. J. Barkley Rosser, in: The Journal of Symbolic Logic, Band 1 (1936), S. 87–91.
Schimanovich u. Weibel 1997: Kurt Gödel: ein mathematischer Mythos. Werner DePauli-Schimanovich und Peter Weibel, Verlag Hölder-Pichler-Tempsky, Wien (1997). ISBN 3-209-00865-5. Ref. 13 in Anhang B. Shanker, Hrsg. 1988: Stuart G. Shanker, ‚Gödel’s Theorem in Focus‘, Croom Helm Ltd, London 1988. ISBN: 0-7099-3357-6.
Sieg 2005: ‘Only Two Letters: The Correspondence between Herbrand and Gödel’. Wilfried Sieg, in: The Bulletin of Symbolic Logic, Band 11, Nr. 2 (June 2005), S. 172–184.
Smith 2005: ‘An Introduction to Gödel’s Theorems’. Peter Smith, Cambridge University: vorläufige Version des Buches von Ref. 32 in Anhang B (2007 and 2020). Vgl. www.godelbook.net.
Smith 2020: ‘An Introduction to Gödel’s Theorems’. Peter Smith, Cambridge University Press (2007, 2020).
Smith 2021: ‘Gödel Without (Too Many) Tears’. Peter Smith, Logic Matters, Cambridge (2021).
Smullyan 1992: ‘Gödel’s Incompleteness Theorems’. Raymond M. Smullyan. Oxford University Press, New York (1992). ISBN 0-19-5046-72-2. Vgl. Ref. 11 in Anhang B.
Tarski 1936: ‘The Concept of Truth in Formalized Languages’, Alfred Tarski, zuerst in Polnisch 1933 publiziert, dann als ein ‚Vordruck‘ auf Deutsch, 1935, dann als ‚Der Wahrheitsbegriff in den formalisierten Sprachen‘ in Studia Philosophica, Band I (1936), S. 261–405, und schließlich auf Englisch in Tarskis Buch (1956).
Wang 1987: Reflections on Kurt Gödel, Hao Wang. MIT Press (1987). ISBN 978 0 26223 127-5.
Wang 1997: A Logical Journey: From Gödel to Philosophy, Hao Wang. Bradford Books (1997) (MIT Press). ISBN 0-262-2-61251.
Wittgenstein 1956: Ludwig Wittgenstein, Remarks on the Foundations of Mathematics (1956), G.H. von Wright, R. Rhees und G. E. M. Anscombe (Hrsg.), G.E.M. Anscombe (Übers.), Oxford: Blackwell, revidierte Auflage 1978.
Author information
Authors and Affiliations
Rights and permissions
Copyright information
© 2024 Der/die Autor(en), exklusiv lizenziert an Springer Nature Switzerland AG
About this chapter
Cite this chapter
Brewer, W.D. (2024). Der Mathematiker in Wien. Die Unvollständigkeitssätze. In: Kurt Gödel. Springer, Cham. https://doi.org/10.1007/978-3-031-43151-7_8
Download citation
DOI: https://doi.org/10.1007/978-3-031-43151-7_8
Published:
Publisher Name: Springer, Cham
Print ISBN: 978-3-031-43150-0
Online ISBN: 978-3-031-43151-7
eBook Packages: Life Science and Basic Disciplines (German Language)