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Cauchy, Le Verrier et Jacobi sur le problème algébrique des valeurs propres et les inégalités séculaires des mouvements des planètes

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Part of the Annals of the Canadian Society for History and Philosophy of Mathematics/ Société canadienne d’histoire et de philosophie des mathématiques book series (ACSHPM)

Résumé

Dans ce présent travail, on analyse deux approches numériques sur le problème algébrique des valeurs propres, une d’après le polynôme caractéristique par Le Verrier en 1840, et l’autre par Jacobi en 1846.

En 1829, Cauchy introduit la notion du polynôme caractéristique d’une matrice et son théorème sur le spectre des valeurs propres réelles pour des systèmes symétriques.

La méthode de Le Verrier fut créée pour l’étude des variations séculaires des planètes. Elle resta pendant longtemps la méthode pour calculer les valeurs propres. Le processus du calcul revient à déterminer successivement les dérivées d’un système d’équations différentielles linéaires et du premier ordre, à calculer les traces d’un système d’équations linéaires et homogènes, puis à utiliser un théorème de Girard-Newton. La méthode de Le Verrier consiste seulement à trouver les coefficients du polynôme caractéristique. Il faut ensuite trouver par approximations les racines de ce polynôme.

Cauchy and Le Verrier inspirèrent Jacobi, qui publia ‘en 1846’ une méthode puissante mais complexe pour des matrices symétriques à coefficients réels. Dans ce cas, toutes les valeurs propres sont réelles comme cela avait déjà été prouvé, mais il faut supposer que les valeurs propres sont aussi distinctes. Jacobi fut capable de construire un système orthogonal. Sa méthode est basée sur une suite de matrices orthogonales \( {\left\{{\mathbf{O}}_{\mathbf{k}}\right\}}_{\mathbf{k}=\mathbf{1}}^{+\infty } \) telles que \( {\mathbf{A}}_{\mathbf{k}+\mathbf{1}}={\mathbf{O}}_{\mathbf{k}}^{\mathbf{t}}{\mathbf{A}}_{\mathbf{k}}{\mathbf{O}}_{\mathbf{k}}\to \mathbf{D}, \)D est une matrice diagonale.

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Notes

  1. 1.

    Ceci est notre traduction de l’allemand vers le français.

  2. 2.

    Rappelons que le mot vecteur émergea des travaux d’Hamilton sur les quaternions en 1845 (Moore 1995: 265).

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Godard, R. (2022). Cauchy, Le Verrier et Jacobi sur le problème algébrique des valeurs propres et les inégalités séculaires des mouvements des planètes. In: Zack, M., Schlimm, D. (eds) Research in History and Philosophy of Mathematics. Annals of the Canadian Society for History and Philosophy of Mathematics/ Société canadienne d’histoire et de philosophie des mathématiques. Birkhäuser, Cham. https://doi.org/10.1007/978-3-030-95201-3_4

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