Abstract
This chapter is about the famous German-Austrian applied mathematician Richard von Mises (1883–1953) and his school in Berlin in the 1920s. The paper focuses on his interactions and controversies with mathematicians at the Technische Hochschule (Higher Technical College) in Berlin, in particular Georg Hamel and Rudolf Rothe, who claimed priority for their institution in the training of applied mathematicians. Von Mises emphasized the special place and characteristics of his Institute for Applied mathematics at the classical University of Berlin between pure mathematics, engineering, and industry. In the appendix of the paper the main stipulations of the “Mathematical practical course (Praktikum)” of von Mises’ institute are reproduced. The paper also draws some comparison and describes some competition between the Göttingen and the Berlin schools of applied mathematics discussing a controversial quote by A. Ostrowski (1966) which describes the Berlin school of applied mathematics as “the first mathematically serious.”
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Notes
- 1.
(Ostrowski 1966, 106). Translations into English are by the author unless indicated otherwise.
- 2.
One of these is his flat and ironic rejection of von Mises’ highly debated but nevertheless stimulating contribution to the foundations of probability theory from 1919.
- 3.
In fact, I do find Ostrowski’s article in many respects historically very insightful. It contains valuable reflections on Gauss, Collatz and others as well. It still deserves a translation into English, although it is written before the modern revolution in applied mathematics which followed the recent computer developments.
- 4.
Courant and Ostrowski’s opinion should not make us forget about Hermann König, Horst von Sanden, Friedrich Adolf Willers, Erich Trefftz four prominent students of Runge’s, the latter also a nephew of Runge’s and a doctoral student of von Mises in Strasbourg in 1913. There was a tradition of applied mathematics in Göttingen even before Runge came to this place in 1904. One must think of Felix Klein, but also of Karl Heun (later Karlsruhe) and Georg Hamel (later von Mises’ boss in Brünn 1905–1909). In German applied mathematics there were also other traditions, largely independent of Göttingen, represented by Rudolf Mehmke (Stuttgart), Sebastian Finsterwalder (Munich) and others.
- 5.
According to his diary, von Mises – who had converted from Judaism to Catholicism – acted as godfather in the Protestant baptism of a son of Bieberbach on 29 October 1922. (Harvard University Archives, Richard von Mises Papers, HUG 4574.2 Diaries 1903–1952.) Sources from the von Mises Papers at Harvard will in the following be quoted with HUG in front.
- 6.
“Wirklich grossen Stil hat nur die Sache in Berlin. Hier hat in den letzten Jahren ein energisches Bestreben eingesetzt, Göttingen den Rang abzulaufen. Neben dem bedeutendsten der jungen Mathematiker, Erhard Schmidt, ist vor einem Jahr auch Carathéodory, der in Göttingen Nachfolger von Felix Klein war, nach Berlin gegangen. Die beiden haben bei der Regierung durchgesetzt, dass eine dritte Professur für mich eingerichtet wird. Alles war schon fertig und ich hätte nach Kriegsende berufen werden sollen. Jetzt fehlt es aber an Geld und das Finanzministerium verschiebt die definitive Errichtung des Lehrstuhles.“ (HUG 4574.5.2, box 3, Letters and postcards to his mother).
- 7.
A decade later, in 1927, Mises would interpret Gustav Herglotz’ appointment in Göttingen as successor to Runge as symptomatic for the decline of applied mathematics in Göttingen. Von Mises did this in an open letter published in Die Naturwissenschaften, directed against Richard Courant, the organizer of the mathematical institute in Göttingen. (Mises 1927, see below). Courant had strong interests in applications and would maybe have better fitted as successor to Runge than Herglotz. He was himself a successor in Klein’s chair from 1920 with Carathéodory and Erich Hecke having been owners of the chair in between.
- 8.
Some more remarks about von Mises’ students, a topic which is not in the center of this chapter, follow below in 5. Conclusions.
- 9.
According to (Rothe 1921, 408/9), this was still the case for the TH in Berlin in the early 1920s.
- 10.
With respect to awarding doctoral degrees for engineers this was reached around 1900 in most German partial states.
- 11.
Things were different in some non-Prussian German states where the TH were stronger involved into teacher education already before 1900. As Lorey (1916, 153) reports, the TH in Dresden (Saxony) and Munich (Bavaria) were entitled from the 1860s to offer, like universities, the entire training for future teachers at higher secondary schools. As I was informed by Gert Schubring (Rio de Janeiro) this pioneering role of the non-Prussian TH is partly to be explained by the insufficient mathematics teaching at secondary schools in these German states. This required an extension of teacher education which the universities alone could not provide.
- 12.
For a detailed discussion among participants in applied mathematics training in various German academic institutions, not only in Göttingen, around 1907—i.e. before von Mises’ main period of influence—see (Besprechung 1907).
- 13.
Rowe writes that Klein and Hilbert formed a kind of “Oberredaktion” (Rowe 2018, 44). Although Blumenthal appeared from 1906 on the title page as one of the editors, he was named in the last position not revealing his crucial role.
- 14.
“Diesen Ruf habe ich wirklich nicht ganz gern angenommen, denn ich hatte mich sehr auf die Universität gefreut. Aber andererseits ist doch Charlottenburg eine so große Sache, dass man sie kaum ausschlagen kann.” (HUG 4574.5. Correspondence (1903–1953), box 1, folder 1919)
- 15.
“Ich habe doch das Bedürfnis, auch neue, höhere Gebiete der Mathematik vorzutragen und direkt, persönlich auf junge Mathematiker einzuwirken. Hier ist das kaum möglich.” (HUG 4574.5. Correspondence (1903–1953), box 1, folder 1919).
- 16.
Geheimes Staatsarchiv Berlin-Dahlem, GSA, Rep. 76Va, Sekt. 2, Tit. IV, No.68c, fol.59-60v. Another, partly overlapping part of this request has already been quoted in (Biermann 1988, 186).
- 17.
“Etwas mehr hätte ich wohl durch geschicktes Verhandeln erreichen können, aber ich bin schliesslich so auch zufrieden. Wenn ich mir überlege, dass dies die erste, und ihrer Art einzige Stellung im Reiche ist, und dass eine ganz besondere Konstellation – das Abflauen der Göttinger Vorherrschaft zugunsten von Berlin – eintreten musste um sie zu schaffen, so wäre es mehr als unbescheiden, eines kleinen Nachteils wegen unzufrieden zu sein. Ich habe ja auch niemals mit einem derart glänzenden Abschluss meiner äusseren ‚Carrière‘ rechnen können und mir höchstens gedacht, dass ich einmal Nachfolger von Heun in Karlsruhe od. dgl. werden könnte.” (HUG 4574.5.2, box 3, Letters and postcards by von Mises to his mother).
- 18.
“Von Göttingen bin ich am Montag abends nach guter Verrichtung zurückgekommen. Ich habe mich sehr gefreut, Klein noch in sehr guter Verfassung anzutreffen, er ist ganz der Alte, von einer erstaunlichen geistigen Frische und Regsamkeit, obwohl an den Beinen, wie es scheint, gelähmt. …Da ich jetzt Vertreter der angew. Mathem. in der ‚Notgemeinschaft deutscher Wissenschaft‘ geworden bin, gibt es für sie [meine Sekretärin] wieder neue Arbeit. Leider wird diese ‘Not’ auch zu einer Sitzung in Göttingen während der Weihnachtsferien führen.” (HUG 4574.5.2, box 3, Letters and postcards by von Mises to his mother).
- 19.
“Das Institut besass auch nicht ein Planimeter, geschweige denn eine Rechenmaschine oder sonst irgend ein mathematisches Instrument. An Modellen, die für den Unterricht in der Geometrie verwendbar wären, waren ausser drei Fadenmodellen von Regelflächen nur sieben kleine Papiermodelle von Flächen zweiten Grades vorhanden; es fehlten selbst alle Hilfsmittel zum Gebrauch bei geometrischen Vorlesungen wie große Tafeldreiecke usw. Aber auch die sonst so reiche Bibliothek des Seminars weist Lücken erstaunlicher Art auf: kein größeres Tafel-Werk, das über den Umfang einer gewöhnlichen Logarithmentafel hinausgeht, ist vorhanden und von Lehrbüchern fehlen, um nur ein Beispiel zu nennen, die Werke von Runge, in deren Titel das Wort ‚Praxis‘vorkommt.” (Bundesarchiv Berlin, R 4901/REM 1447, Institut für Angewandte Mathematik (1920–1942, fol. 12-14, 21 December 1920, partly quoted in German also in (Bernhardt 1980, 25)).
- 20.
Klein had an assistant in Göttingen from 1892. As late as 1904 Hilbert had to share an assistent with H. Minkowski (Tobies 2019, 341–345). Quite often professors had to pay assistants out of their own pockets or with non-governmental means, as von Mises would do in his institute in Berlin in the 1920s. From 1921 Hilda Geiringer had an assistantship for applied mathematics which had to be applied for each year.
- 21.
“3. Die Bedürfnisse der angewandten Mathematik sind in den vorstehenden Betrachtungen nicht eingeschlossen. Bei dem Unterrichtsbetrieb in der angewandten Mathematik werden Assistentendienste infolge des Hinzutretens von Zeichensaal-Übungen in noch erhöhtem Masse in Anspruch genommen.” (Geheimes Staatsarchiv Berlin-Dahlem, GSA, I.HA, Rep. 76, No.306, fol. 46/46, 5 February 1921).
- 22.
Bundesarchiv Berlin, R 4901/REM 1447, Institut für Angewandte Mathematik (1920–1942), fol. 53–60. See Appendix for excerpts concerning the “Mathematische Praktikum”.
- 23.
“dass an zahlreichen Hochschulen des In- und Auslandes die hier zum erstenmal ins Leben gerufene Einrichtung des ‚mathematischen Praktikums‘—großenteils unter Verwendung von durch uns zur Verfügung gestellten Materials—nachgeahmt wird.” (Bundesarchiv Berlin, R 4901/REM 1447, Institut für Angewandte Mathematik (1920–1942), fol. 145-149, von Mises’ report to the minister, 8 October 1928, quote from fol. 146).
- 24.
This reminded of Felix Klein’s earlier arguments around 1900 about “General Staff Officers of Technology” (Generalstabsoffiziere der Technik) which should be trained at universities. This formulation was not well received among TH professors.
- 25.
“Es könnte dem Fernerstehenden vielleicht zweifelhaft erscheinen, ob Pläne, wie die hier ins Werk gesetzten, nicht eher an eine Technische Hochschule, denn an eine Universität gehören. Aber abgesehen davon, dass ein Institut dieser Art an einer Technischen Hochschule in Preussen bisher nicht besteht (während z.B. die Göttinger Einrichtungen nach den Plänen von Felix Klein einigermassen in dieser Richtung liegen) darf doch auch noch auf folgendes hingewiesen werden. So sicher es ist, dass die Industrie zum allergrössten Teil die an den Technischen Hochschulen ausgebildeten Diplom-Ingenieure verwenden muss, so unzweifelhaft besteht bei ihr auch ein Bedürfnis nach einzelnen, wenigen Theoretikern, deren fachliche Ausbildung sich auf dem Untergrund einer umfassenden physikalischen und rein-mathematischen Schulung, wie sie nur die Universität bieten kann, vollzieht. Die Nachfrage nach derartigen Kräften übersteigt, wie mich meine persönliche Erfahrung lehrt, z.Zt. das Angebot.” (Bundesarchiv Berlin, R 4901/REM 1447, Institut für Angewandte Mathematik (1920–1942), fol. 65–67v, von Mises’ report to the minister 28 June 1922, quote from fol. 67).
- 26.
“Die Universitäten, die bisher nur in der Chemie, und teilweise in der Physik, den Bedürfnissen der Industrie unmittelbar gedient haben, müssen jetzt auch auf einem weiteren Gebiet, dem der angewandten Mathematik, technischen Aufgaben nutzbar gemacht werden. Dass, wie schon eingangs erwähnt, die gegenwärtige Entwicklungsphase der deutschen Industrie auf eine solche verstärkte Heranziehung wissenschaftlicher Hilfsmittel und engere Fühlungnahme mit der Wissenschaft hindrängt, dafür mag als äusseres Kennzeichen auch die vor zwei Jahren erfolgte Begründung der ‚Zeitschrift für angewandte Mathematik und Mechanik‘angesehen werden, die vom Verein deutscher Ingenieure unter meiner Leitung herausgegeben wird und ähnlichen Zielen dienen soll wie mein Institut. Auch ein im Entstehen begriffener Zusammenschluss der Fachleute auf dem in Rede stehenden Grenzgebiet zwischen Mathematik und Technik zeigt, dass es sich hier um eine allgemeine, zeitgemässe und in der gegenwärtigen Gesamtentwicklung begründete Erscheinung handelt, um Bestrebungen, die einer Unterstützung durch den Staat wohl würdig sind.” (Bundesarchiv Berlin, R 4901/REM 1447, Institut für Angewandte Mathematik (1920–1942), fol. 65–67v, von Mises’ report to the minister 28 June 1922, quote from fol. 67/67v).
- 27.
“Berlin ist neben Göttingen die einzige Stelle in Preussen, an der zurzeit die sachlichen und persönlichen Voraussetzungen für eine Ausbildung in der angewandten Mathematik überhaupt gegeben sind. Nach allgemeinem Urteil geht die Entwicklung dahin, dass die angewandte Richtung innerhalb der Mathematik immer grössere Bedeutung gewinnt, und namentlich im angelsächsischen Ausland sowie in Russland wird diesem Umstand in hohem Masse Rechnung getragen. Andererseits macht sich in Deutschland der intensive Mangel an Nachwuchs auf dem Gebiete der angewandten Mathematik nicht nur in der Industrie bemerkbar, sondern er ist beispielsweise auch in den Schwierigkeiten der Neubesetzung des Rungeschen Lehrstuhls in Göttingen deutlich zum Ausdruck gekommen. Das Eingehen oder Verkümmerung der neuen Ansätze, die in Berlin seit 1920 geschaffen wurden, könnte auf Dezennien hinaus Folgen von nachhaltig schädlicher Wirkung zeitigen.” (Bundesarchiv Berlin, R 4901/REM 1447, Institut für Angewandte Mathematik (1920–1942), fol. 120–121, von Mises’ report to the minister 16 December 1925).
- 28.
“Die Ausstattung des Instituts mit Apparaten und Instrumenten ist eine äusserst dürftige und zwar vorwiegend deshalb, weil das Institut im Jahre 1920 begründet wurde und die zu seiner Einrichtung in den nächsten Jahren bestimmten Mittel durch die Inflation fast völlig aufgezehrt wurden. Kaum ein Drittel der im Jahre 1921 in Aussicht genommenen und bewilligten Hilfsmittel konnten tatsächlich angeschafft werden. Es fehlen bisher noch vollständig einzelne grössere Objekte wie Integraphen, Analysatoren, gar nicht zu sprechen von neueren amerikanischen Integrationsmaschinen, deren Anschaffung angesichts der bestehenden Knappheit an Mitteln vorläufig zurückgestellt werden muss.” (fol. 160). “Hinsichtlich des personellen Bedarfs ist zu sagen, dass ein Praktikum mit 120 Teilnehmern ganz unmöglich mit einem einzigen Assistenten geführt werden kann, zumal diesem noch die gesamte nicht geringer Verwaltungsarbeit zufällt.” (fol. 161) (Bundesarchiv Berlin, R 4901/REM 1447, Institut für Angewandte Mathematik (1920–1942), fol.158–162, von Mises’ report to the minister is dated 11 May 1929).
- 29.
A leading politician in the DVP was Gustav Stresemann, foreign minister of the Weimar Republic 1923–1929, who received the Nobelprize for Peace together with Aristide Briand in 1926 for reconciliation between Germany and France. Nevertheless there were nationalistic tendencies within the DVP as well.
- 30.
Hamel writes in January 1921 in von Mises’ journal ZAMM, that at the time only four semesters of study at a TH were credited as part of the conditions to enter the teacher exam (Hamel 1921, 78).
- 31.
The last sentence in the order is: “The required practical work has to be documented in any case.” (Gleichstellung 1921, 290)
- 32.
From 1912 to 1914 Rothe had the chair for applied mathematics at the TH Hannover founded there in 1907 (K. Wieghardt), before proceeding to the TH Berlin-Charlottenburg (Scharlau 1990, 153).
- 33.
“Die Änderung der Prüfungsordnung ist völlig einseitig im Sinne von Wünschen einiger Herren der Technischen Hochschule Charlottenburg erfolgt.” (HUG 4574.5, box 2, folder 1921)
- 34.
As mentioned before, von Mises was formally merely a “personal” ordinary professor (Ordinarius), not a fully-budgeted Ordinarius. However he had been recently, on 6 May 1921, promoted to become a member of the “Akademisches Prüfungsamt” (exam commission) on 6 May 1921, rewarding his turning down an offer from Leipzig University (GSA, Rep. 76Va, Sekt. 2, Tit. IV, No.68c, fol.152/152v).
- 35.
According to (Mehrtens 1986, 319/20), the University of Berlin had in 1932 a total of 606 mathematics students, while only 64 studied mathematics at the TH in Berlin-Charlottenburg at the same point of time. Thus von Mises with his 120 participants in the “Praktikum” in 1928 (see above) had more students for applied mathematics than the TH, with probably much overlap. Of course many other engineering students at the TH would also work as “applied mathematicians” later in their career without using this name.
- 36.
By comparison, the university of Göttingen did not have a TH to compete with in its vicinity, but had its own technical institutes, as Rothe pointed out in his speech. The geographically nearest TH was in Hanover from where both Runge and Prandtl had been drawn to Göttingen in 1904.
- 37.
In another anonymous report in ZAMM (Mises, anon 1924) von Mises said that the Reichsverband accepted a “compromise” in 1924 but there are no details given.
- 38.
At its foundation in 1922 GAMM was still named “Deutsche Ingenieurwissenschaftliche Vereinigung.”
- 39.
It is different story that von Mises had his own problems to convince the engineers of the importance of mathematics. Even the name GAMM (Society for applied mathematics and mechanics) came about only after resistance on the part of some engineers such as Ludwig Prandtl. (Siegmund-Schultze 2020a, 9)
- 40.
HUG 4574.5, box 2, f. 1922.
- 41.
“Gegen Mittag schließen Bie[berbach] und Schoe[nflies] einen faulen Kompromiß mit Hamel, worüber ich außerordentlich erregt.” (HUG 4574.2 Diaries 1903–1952.)
- 42.
By this is meant studies for mathematics teacher with a specialization in applied mathematics.
- 43.
“Jedenfalls liegt mir sehr viel daran, nicht den Eindruck zu erwecken, als ob in der Zeitschrift keine von der meinen abweichende Auffassung zu Worte kommen könnte.”Trefftz Papers, Richard von Mises to Trefftz, 20 November 1924. University Archives Dresden.
- 44.
Renate Tobies (Jena) advised me to look more critical at von Mises as a person, who indeed had frequent superiority feelings over some of his colleagues’ political naïveté, as his diaries testify.
- 45.
By this von Mises apparently meant not leaning towards the political left like the Social Democrats who provided the Prussian Prime Minister Otto Braun.
- 46.
Referring to the official in the Prussian ministry of culture, Hans Richert (1869–1940), who was also a member of the DVP.
- 47.
Among the best known students of von Mises who attended his lectures were Lothar Collatz, Walter Ledermann, Curt Schmieden and Günther Schulz.
- 48.
Ostrowski, however, seems to deny this as well, saying about Runge: “When I think back on him, I feel whenever he had the choice between using a slide rule or the calculator, he would have used the slide rule. Of course he knew how to use the slide rule with virtuosity.” (Ostrowski 1966, 105)
- 49.
I could not discuss emigration in this chapter and its effect of the von Mises school. Von Mises did much to help his former students during emigration. For more details see Siegmund-Schultze (2020b).
- 50.
[x] marks end of excerpt from page x.
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Acknowledgements
I thank Renate Tobies (Jena) for a critical reading of the manuscript and Gert Schubring (Rio de Janeiro) for kind advice.
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Appendix
Appendix
Excerpts regarding the “Mathematische Praktikum” from Richard von Mises’ “Draft of a teaching plan for the field of applied mathematics” (“Entwurf eines Lehrplanes für das Gebiet der Angewandten Mathematik”), Berlin, im Dezember 1921, 13 pp typewritten German, 8-11. Emphasis as in German original
Source: Bundesarchiv Berlin, R 4901/REM 1447, Institut für Angewandte Mathematik (1920–1942), fol. 53–60.
English translation:
5. Mathematical practical course [Praktikum]
The purpose of the mathematical practical course is to familiarize the participants with the mathematical methods of calculation, drawing and instrumental methods of mathematics through their own work. It takes place once a week (in groups if required) for three hours and consists always of the solution of one bigger or several smaller problems [Aufgaben] after a detailed explanation. The division is such that in the first two semesters (beginners’ practical course) the material is dealt with, which is required by the Prussian examination regulations for all candidates as teachers at higher secondary schools with mathematics as their major subject (§ 20); in the two subsequent semesters (practical course for advanced students) the material required for the additional subject Applied Mathematics is dealt with (§ 26).
Participation in the beginners’ practical course does not require prior attendance of specific lectures in the field of applied mathematics. The explanations of the individual problems are given in such a way that they are understandable for those who are familiar with school mathematics and the basic principles of differential and integral calculus as well as analytical geometry. The practical course can begin in the 2nd semester.
The advanced practical course requires knowledge of descriptive geometry, graphical statics and practical analysis that goes beyond the school curriculum. It is recommended to attend the relevant main lectures in advance, at the latest at the same time as the practical course. (Compare the classification of material under 6).
The two individual semesters of each of the two practical courses are independent of each other and can be taken in any order.
6. Overview of the substance covered by the practical courses
(a) Beginners’ practical course
1st semester: Numerical and instrumental calculation.
Theory of abbreviated calculation, slide rules, calculating machines, tabular calculation, interpolation, resolution of third and fourth degree equations and of systems of linear equations, treatment of algebraic and transcendental equations, methods of approximation sequences.
2nd semester: Graphical calculation and elements of descriptive geometry.
The simple types of calculations in graphical form, diagrams, graphical resolution of algebraic and transcendental equations, elements of nomography, ground plan and elevation of simple figures, axonometry in particular with regard to the stereometric problems of school teaching.
(b) Advanced practical course.
1st semester: Practical Analysis and Algebra.
Mechanical quadrature, numerical and graphical integration of ordinary and partial differential equations, harmonic analysis, nomography, resolution of equations and boundary value problems
2nd semester: descriptive geometry and graphical statics
Further problems of descriptive geometry, curved surfaces, perspective, constructive problems for graphical statics and kinematics.
German Original Footnote 50
5. Praktikum
Das mathematische Praktikum hat den Zweck, die Teilnehmer durch eigene Arbeit mit den rechnerischen, zeichnerischen und instrumentellen Verfahren der Mathematik vertraut zu machen. Es findet einmal wöchentlich (nach Bedarf in Gruppen) dreistündig statt und besteht jedesmal aus der Lösung einer grösseren oder mehrerer kleinerer Aufgaben nach vorhergehender ausführlicher Erläuterung. Die Einteilung ist so getroffen, dass in den ersten zwei Semestern (Anfängerpraktikum) derjenige Stoff behandelt wird, der nach der Preussischen Prüfungsordnung für das höhere Schulamt von allen Kandidaten für Mathematik im Hauptfach gefordert wird [8] (§ 20); in den beiden anschliessenden Semestern (Praktikum für Fortgeschrittene) der Stoff, der für das Zusatzfach Angewandte Mathematik verlangt wird (§ 26).
Die Teilnahme am Anfängerpraktikum setzt den Besuch bestimmter Vorlesungen aus dem Gebiet der Angewandten Mathematik nicht voraus. Die Erklärungen zu den einzelnen Aufgaben werden so gehalten, dass sie dem mit der Schulmathematik und den Anfangsgründen der Differential- und Integralrechnung und analytischen Geometrie Vertrauten verständlich sind. Der Besuch des Praktikums kann im 2. Studiensemester beginnen.
Das Praktikum für Fortgeschrittene setzt über den Schulstoff hinausgehende Kenntnisse aus dem Gebiet der darstellenden Geometrie, der graphischen Statik und der praktischen Analysis voraus.[9]
Es empfiehlt sich, die betr. Hauptvorlesungen jeweils vorher, spätestens gleichzeitig mit dem Praktikum zu hören. (Vergl. die Stoffeinteilung unter 6).
Die beiden einzelnen Semester eines jeden der beiden Praktika sind voneinander unabhängig und können in beliebiger Reihenfolge belegt werden.
6. Übersicht des im Praktikum behandelten Stoffes
(a) Anfängerpraktikum
1. Semester: Numerisches und instrumentelles Rechnen.
Theorie des abgekürzten Rechnens, Rechenschieber, Rechenmaschinen, tabellarisches Rechnen, Interpolation, Auflösung von Gleichungen dritten und vierten Grades und von Systemen linearer Gleichungen, Behandlung algebraischer und transzendenter Gleichungen, Verfahren der Näherungsfolgen.
2. Semester: Graphisches Rechnen und Elemente der darstellenden Geometrie.
Die einfachen Rechnungsarten in zeichnerischer Ausführung, Diagramme, zeichnerische Auflösung von algebraischen und transzendenten Gleichungen, Elemente der Nomographie, Grund- und Aufrissverfahren einfacher Gebilde, Axonometrie beson- [10] ders mit Rücksicht auf die stereometrischen Aufgaben des Schulunterrichts.
(b) Praktikum für Fortgeschrittene.
1. Semester: Praktische Analysis und Algebra.
Mechanische Quadratur, numerische und graphische Integration gewöhnlicher und partieller Differentialgleichungen, Harmonische Analyse, Nomographie, Gleichungsauflösung und Randwertprobleme
2. Semester: Darstellende Geometrie und graphische Statik
Weitergehende Aufgaben der darstellenden Geometrie, krumme Flächen, Perspektive, konstruktive Aufgaben zur graphischen Statik und Kinematik.[11]
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Siegmund-Schultze, R. (2021). “The First Mathematically Serious German School of Applied Mathematics”?. In: Mazliak, L., Tazzioli, R. (eds) Mathematical Communities in the Reconstruction After the Great War 1918–1928. Trends in the History of Science. Birkhäuser, Cham. https://doi.org/10.1007/978-3-030-61683-0_7
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DOI: https://doi.org/10.1007/978-3-030-61683-0_7
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Publisher Name: Birkhäuser, Cham
Print ISBN: 978-3-030-61682-3
Online ISBN: 978-3-030-61683-0
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