Following Béla von Kerékjártó. The Journeys of a Hungarian Mathematician in the Post-war World

Abstract

As part of the defeated side during World War I, Hungary faced a difficult situation after the signature of the Treaty of Trianon and tried to recover during the 1920s. The University of Kolosv’ar that was moved to Szeged offers a good example of this post-war reconstruction attempt. In the mathematical field, the university of Szeged promoted new young professors to rebuild a community whose influence was just emerging in the 1910s. The case of the young mathematician Béla von Kerékjártó’ is a remarkable example of this situation. His journeys across Europe illustrate how a young mathematician belonging to the defeated camp had to manage his career in the aftermath of the Great War.

The present chapter is an extension of a master thesis realized in 2015 at the Pierre and Marie Curie University, Paris, France, under the direction of Laurent Mazliak.

Independent researcher. Paris, France.

6 Appendix : Béla von Kerékjártó’s Letter to Maurice Fréchet, 8 December 1923

We reproduce below the text of the long letter sent by Kerékjártó to Maurice Fréchet as an answer to Fréchet’s questions about Kerékjártó’s book, which the Frenchman had recently discovered. It was a clear attempt by Kerékjártó to show to Fréchet that they had common interests in research about abstract topological spaces. We kept the original spelling and (rather superficial) linguistic mistakes.

Princeton, N.J. (Graduate College)

le 8 décembre 1923

Monsieur et cher Collègue,

J’ai reçu votre lettre le 8 nov. et vous en remercie vivement. Je vous remercie aussi pour votre intérêt aimable pour mon traité et pour les remarques et suggestions que vous me faîtes à ce point-là.—La modification proposée par M. Flamant  pour la démonstration donnée par Poincaré rends en effet celle-ci encore plus simple; en outre, la démonstration a été donné par Poincaré dans une de ses conférences à Göttingen et publié dans l’ouvrage: “Sechs Vorträge über ausgewählte Gegenstände etc” (Teubner, Leipzig), p. 45. - Les recherches de M. Lebesgue sur les thééorèmes fondamentaux de la topologie, ensemble avec ses résultats sur les courbes continues, seront reproduits dans mon deuxième volume; pourtant quant aux courbes continues remplissant un volume à n dimensions et n’ayant que des points $n+1$-uples au plus, je généraliserai l’exemple de M. Pólya , c’est ce qui ne donnera pas des difficultés.

Quant à ce sujet, permettez-moi de vous rappeler d’une manière très simple, donnée par M. Sierpinski, comment à caractériser les courbes continues (images univoques et continues d’un segment; M. Sierpinski les appelle courbes jordaniennes, et les images biunivoques: courbes jordaniennes simples). La condition nécessaire et suffisante pour qu’un ensemble fermé compact et d’un seul tenant situé dans une $\mathcal {D}$ soit une courbe continue est que pour chaque positif $\epsilon$ il soit la somme d’un nombre fini d’ensembles fermés compacts et d’un seul tenants dont chacun a un diamètre inférieur à $\epsilon$.—La démonstration très simple s’obtient de la façon suivante. Soient $\mathcal {M}_1^{(1)}$, $\mathcal {M}_2^{(1)}$, ...,$\mathcal {M}_{k_1}^{(1)}$, les continus ($=$ ensembles fermés compacts et d’un seul tenants) de diamètre $<\epsilon$ dont la somme est l’ensemble donné $\mathcal {M}$; on peut les ordonner de telle façon que $\mathcal {M}_\nu ^{(1)}$ et $\mathcal {M}_{\nu + 1}^{(1)}$ ont des points communs. Alors on prends des continus $\mathcal {M}_\nu ^{(2)}$ de diamètre $<\epsilon /2$ dont la somme est $\mathcal {M}$ on ordonne les ensembles $\mathcal {M}_1^{(2)}$, $\mathcal {M}_2^{(2)}$, ..., $\mathcal {M}_{k_2}^{(2)}$ lesquels recouvrent l’ensemble $\mathcal {M}_1^{(1)}$ (mais peut-être aussi autres points de $\mathcal {M}$) de telle manière que deux consécutifs ont toujours un point commun et que le dernier $\mathcal {M}_{k_2}^{(2)}$ contient un point commun à $\mathcal {M}_1^{(1)}$ et $\mathcal {M}_2^{(1)}$; ensuite les ensembles $\mathcal {M}_{k_2+1}^{(2)}$, ..., $\mathcal {M}_{2k_2}^{(2)}$ qui recouvrent $\mathcal {M}_2^{(2)}$ de telle façon que $\mathcal {M}_{k_2+1}^{(2)}$ a un point commun avec $\mathcal {M}_{k_2}^{(2)}$; et ainsi de suite. (On peut supposer que leur nombre est le même que celui des ensembles recouvrant $\mathcal {M}_1^{(1)}$). Alors on obtient des ensembles $\mathcal {M}_1^{(2)}$, ..., $\mathcal {M}_{k_1k_2}^{(2)}$ tels que $\mathcal {M}_{(\nu -1)k_2+1}^{(2)},\ldots , \mathcal {M}_{\nu *k_2}^{(2)}$ recouvrent l’ensemble $\mathcal {M}_{\nu }^{(1)}$ et chacun d’eux contient au moins un point de $\mathcal {M}_\nu ^{(1)}$. En continuant de la même façon et en ordonnant à l’intervalle $i_\nu ^{(1)}$: $\frac{\nu -1}{k_1} \leqslant \mathcal {X} \leqslant \nu /{k_{2}}$ provisoirement l’ensemble $\mathcal {M}_\nu ^{(1)}$, ensuite à l’intervalle $i_{(\nu -1)k_2+\nu '}^{(2)}$: $\frac{\nu -1}{k_1} + \frac{\nu '-1}{k_1k_2} \leqslant \mathcal {X}\leqslant \frac{\nu -1}{k_1} + \frac{\nu '}{k_1k_2}$ l’ensemble $\mathcal {M}_{(\nu -1)k_2 + \nu '}^{(2)}$, et ainsi de suite, on voit qu’à une suite d’intervalles $i_{\nu _1}^{(1)}$, $i_{\nu _2}^{(2)}$, ...corresponds une suite de continus $\mathcal {M}_{\nu _1}^{(1)}$, $\mathcal {M}_{\nu _2}^{(2)}$, ...tel que le diamètre de $\mathcal {M}_{\nu _k}^{(k)}$ est $<\frac{\epsilon }{2^{k-1}}$ et $\mathcal {M}_{\nu _k}^{(k)}$ et $\mathcal {M}_{\nu _{k+1}}^{(k+1)}$ ont un point en commun. Par suite ces continus tend vers un seul point c’est qu’on ordonne comme image au point commun des intervalles $i_{\nu _k}^{(k)}$. Alors on obtient une transformation uniforme et continue de l’intervalle (0, 1) sur l’ensemble $\mathcal {M}$.-Cette démonstration essentiellement la même que celle donnée par M. Sierpinski, dans les Fund. Math. en 16 pages.—On conclut de cela le théorème de MM. Hahn et Mazurkiewicz immédiatement puisque il s’ensuit de la supposition que l’ensemble est connexe en voisinage (zusammenhängend in Kleinen) et du théorème de Heine-Borel que l’ensemble est la somme d’un nombre fini de continus, à savoir des ensembles $\mathcal {M}^*$ de M. Hahn et on n’a pas besoin pour le cas général des ensemble $\mathcal {M}^{**}$ de M. Hahn.-Cette façon de démontrer le théorème de Hahn et Mazurkiewicz est bien plus simple que celle que j’ai donné dans le texte et qui n’est valable que pour le cas de 2 dimensions; en somme elle n’est qu’une distillation de la démonstration de M. Hahn.

Dans mes leçons ici je suis entraîné à élaborer la topologie des ensembles abstraits, ce qui me sers de base pour le résumé que je donnera dans le second volume sur votre théorie des ensembles abstraits Peut-être le remarque suivant aura quelque intérêt pour vous. Comme vous voyez, on distingue du nouveau entre des propriétés absolues et relatives des figures (MM. Hahn, Tietze , etc) sans trouver l’éssence de cette distinction. Dès que je ne peut trouver aucune définition précise de la notion de “propriété”, je formule ainsi: une proposition se rapport aux propriétés absolues d’un ensemble $\mathcal {M}$ situé dans une classe $\mathcal {(L)}$ lorsqu’on peut l’énoncer en termes d’éléments de l’ensemble $\mathcal {M}$ et des suites de $\mathcal {M}$ convergeantes vers des points de $\mathcal {M}$; autrement, elle constitue une propriété relative de $\mathcal {M}$.-Alors on peut démontrer la proposition suivante : Chaque propriété absolue est invariante par toutes les transformations biunivoques et bicontinues de $\mathcal {M}$ et inversement chaque propriété qui est invariable par toutes les transformations biunivoques et bicontinues de $\mathcal {M}$ est une propriété absolue.- La première partie de la proposition est immédiate; la deuxième partie s’obtient on supprimant tous les éléments de la classe n’appartenant pas à $\mathcal {M}$ et en conservant les définitions primitives de limite pour les suites qui restent; ainsi on obtient du nouveau une classe $\mathcal {(L)}$ epuis une transformation biunivoque et bicontinue de l’ensemble $\mathcal {M}$ situé dans la classe primitive sur l’ensemble situé dans la classe nouvelle, cette transformation étant définie comme l’identité; comme la propriété dont il s’agit reste invariable, alors elle peut s’exprimer pour l’ensemble situé dans la nouvelle classe, c’est-à -dire en termes d’éléments et de suites de l’ensemble même. Comme d’applications, on obtient presque tous les théorèmes généraux d’invariance.

Peut-être vous avez déjà vu la nouvelle démonstration générale donnée par M. Alexander  (Transart. Am. M. S. 1922) pour le théorème de Jordan pour n dimensions. Récemment il a réussit à définir les nombres de Betti pour les $\mathcal {L}$ pourvu que la condition suivante est satisfaite: étant $\mathcal {P}_1^{(i)}$, $\mathcal {P}_2^{(i)}, \ldots , (i = 1, 2, \text {dire en termes})$ des suites convergeantes, on peut extraire une suite convergeante $\mathcal {P}_{k_1}^{(i)}$, $\mathcal {P}_{k_2}^{(i)}$, ...$(k_n \rightarrow \infty )$; il publiera bientôt ses résultats sur cette question.

Avec les variétés à $n (>2)$ dimensions on a une difficulté quand on veut obtenir une division simpliciale (triangulation) pour elles; à que j’ai pensé en écrivant l’introduction (page 8, ligne 11–13), c’est ce qu’on peut diviser chaque telle variété en des parties, chacune d’elles ayant pour frontière une variété équivalente à une hypersphère de $n-1$ dimensions. Ces variétés sont en effet de caractère spéciale, de telle sorte que les possibilités découvertes par M. Antoine n’affectent probablement pas la vérité de la proposition; tous le même une démonstration pour cela donne des difficultés lorsqu’on ne connait point la géométrie élémentaire de l’espace; par exemple il n’y a pas encore une démonstration suffisante pour le théorème que l’intérieur d’un polyèdre simplement connexe dans l’espace à 3 dimensions est une image biunivoque et continue de l’intérieur d’une sphère. - Bientôt, je finirai la rédaction d’une mémoire sur la définition récurrente des surfaces; pour le cas de $n>2$ dimensions il faut introduire artificiellement une notion de l’hypersphère à $n-1$ dimension pour maintenir la définition récurrente; je ne suis pas encore sûr comment à le faire le mieux. - Pourtant, il y a définition de variétés à n-dimension, comme M. Tietze remarque, (Analysis Situs, Mitterhengen des Hamburgisehen Math Seminars, 2) indépendante de la notion du nombre réel; on a une telle définition pour $n=1$ (Tietze, Math. Zeitschr. 1918) et ensuite la notion du produit de deux figures.

Quant à l’exemple donné par M. Antoine d’une surface dans l’espace à 3 dimension qui est image topologique de la sphère est telle qu’on ne peut pas prolonger la transformation entre sphère et surfaces pour leurs intérieurs, je crois que l’essence de cette propriété s’explique le mieux par le fait que dans le cas de son exemple l’intérieur de la surface a un groupe fondamental différent de l’identité (c’est-à-dire il y a une courbe fermée dans l’intérieur de la surface à un seul point). C’est pourquoi l’intérieur de la surface et celui de la sphère ne sont pas équivalents. Il reste ouverte la question si, une surface étant équivalente à la sphère et son intérieur ayant pour groupe fondamental l’identité, on peut transformer surface et son intérieur en sphère et intérieur.

Permettez moi à vous demander si l’on pourrait recevoir “Esquisse d’une théorie des ensembles abstraits” par l’éditeur, peut être ensemble avec tous les autres Silver Jubilee Volumes of Sir Asutosk Mookerje et s’il est ainsi où est ce que je me peut adresser; je les ordonnerai sans doute pour la bibliothèque de cette université.

Agréez, Monsieur et cher collègue, l’expression de ma considération profonde et mes meilleurs sentiments.

B. de Kerékjártó