Zusammenfassung
In diesem Kapitel behandeln wir eine Reihe von ausgewählten Anwendungen der Theorie der Großen Abweichungen. Bis auf das eher historische Beispiel aus der Statistik in Abschn. 4.1 stammen alle aus der Forschung der letzten 20 bis 30 Jahre: die Spektra zufälliger großer Matrizen, die räumliche Ausbreitung zufälliger Polymerketten, Langzeitverhalten von zufälligem Massentransport durch ein zufälliges Feld von Quellen und Senken, Irrfahrten in zufälliger Umgebung etc. Wir haben uns bemüht, Beispiele auszuwählen, die nicht aus der Theorie der Großen Abweichungen heraus motiviert werden, aber zu deren Verständnis diese Theorie einen substanziellen oder sogar unverzichtbaren Beitrag liefert.
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Notes
- 1.
Den statistischen Hintergrund liefert z. B. [Ge02], der Zusammenhang mit Großen Abweichungen ist in [Ho00, Kap. VI] und [DeZe10, Abschn. 3.4] dargestellt; er geht auf [Ch52] zurück.
- 2.
Im diskreten Fall beinhaltet die Definition eines Neyman–Pearson-Tests, dass im Fall \(Y_1+\dots +Y_n<n\gamma _n\) definitiv die Alternative gewählt wird, aber im Fall \(Y_1+\dots +Y_n=n\gamma _n\) eine (eventuell unfaire) Münze geworfen wird.
- 3.
Dieses Argument zeigt unabhängig vom Ergebnis von Satz 4.2.1, dass die Reskalierung genau mit \(N^{\frac{1}{2}}\) gewählt werden muss.
- 4.
Diese Bezeichnungen führen in die Irre, was das Baugesetz der Folge \((\mathbb {P}_{\beta ,n})_{n\in \mathbb {N}}\) angeht: Es handelt sich nicht um eine Irrfahrt, nicht einmal um eine konsistente Familie.
- 5.
Es scheint ein allgemeines Phänomen in der statistischen Mechanik zu sein, dass kritische Exponenten in zwei Dimensionen vermutlich einfache Brüche sind, aber ihr Wert in drei Dimensionen völlig im Dunkeln liegt.
- 6.
Die Bezeichnung kommt daher, dass der Graph des Pfades im Kasten \([0,n]\times [0,\theta n]\) bleibt und von der linken unteren zur rechten oberen Ecke verläuft.
- 7.
Dieser Argumentation liegt natürlich die fundamentale Idee zugrunde, dass hohe exponentielle Momente hauptsächlich von den Maxima des zufälligen Exponenten bestimmt werden, siehe etwa Lemma 1.3.1.
- 8.
Für \(x,y\in (0,\infty )\) wende man die Konvexität an auf x bzw. auf y als eine Konvexitätskombination von 0 und \(x+y\) und erhält \(\varphi (x)\le \frac{x}{x+y}\varphi (x+y)\) bzw. \(\varphi (y)\le \frac{y}{x+y}\varphi (x+y)\). Dann addiere man die beiden Ungleichungen.
- 9.
Eine Ausführung dieses Beweises ist enthalten in dem zu [GäMo98] gehörigen Preprint, fiel aber den Kürzungsvorgaben der Zeitschrift zum Opfer.
- 10.
Mit Hilfe der Jensen’schen Ungleichung zeigt man allerdings elementar, dass die annealed Ratenfunktion nicht über der quenched Ratenfunktion liegt, sofern beide Prinzipien gelten.
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König, W. (2020). Ausgewählte Anwendungen. In: Große Abweichungen. Mathematik Kompakt. Birkhäuser, Cham. https://doi.org/10.1007/978-3-030-52778-5_4
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DOI: https://doi.org/10.1007/978-3-030-52778-5_4
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Publisher Name: Birkhäuser, Cham
Print ISBN: 978-3-030-52777-8
Online ISBN: 978-3-030-52778-5
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