Das Prinzip der gleichmäßigen Beschränktheit

Zusammenfassung

Das Prinzip der gleichmäßigen Beschränktheit ist ein Herzstück der Funktionalanalysis: bestimmte punktweise Eigenschaften von linearen Operatoren in vollständigen Räumen gelten sogar gleichmäßig. Ausgehend vom Satz von Baire behandelt dieses Kapitel einige der Hauptsätze der Funktionalanalysis: die Sätze von Banach–Steinhaus, der offenen Abbildung, der stetigen Inversen, und dem abgeschlossenen Graphen.

Aufgaben

Aufgabe 5.1

Gegenbeispiele für $\text {core--int-}$ Lemma

Zeigen Sie jeweils durch ein Gegenbeispiel, dass die Aussage von Lemma 5.2 nicht mehr gilt, wenn eine der Voraussetzungen fallen gelassen wird:

• (i) A konvex;

• (ii) A abgeschlossen;

• (iii) X vollständig.

Hinweis: Betrachten Sie für (iii) $X=c_e(\mathbb {R})$ und die Menge

$$\begin{aligned} A=\left\{ x\in c_e(\mathbb {R}):x_k \le k^{-1} \text {f}{\ddot{\mathrm{u}}}\text {r}\, \text {alle }\, k\in \mathbb {N}\right\} . \end{aligned}$$

Aufgabe 5.2

Banach–Steinhaus ohne Banach?

Zeigen Sie durch ein Gegenbeispiel, dass die Aussage des Satzes von Banach–Steinhaus nicht mehr gilt, wenn X kein Banachraum ist.

Aufgabe 5.3

Quadraturformeln als stetige Operatoren

Wir betrachten das Integral von stetigen Funktionen als linearen Operator

$$\begin{aligned} Q:C([a,b])\rightarrow \mathbb {R},\qquad f\mapsto \int _a^b f(x)\, dx. \end{aligned}$$

Für die numerische Näherung von Integralen wird Q durch eine Folge von Quadraturformeln

$$\begin{aligned} Q_n:C([a, b])\rightarrow \mathbb {R},\qquad f \mapsto \sum _{i=0}^n w_i^{(n)} f\left( x_i^{(n)}\right) \end{aligned}$$

approximiert. (Die $x_i^{(n)}\in [a, b]$ heißen Stützstellen, die $w_i^{(n)}\in \mathbb {R}$ Quadraturgewichte.)

Zeigen Sie:

• (i) Die Quadraturformeln $Q_n$ konvergieren genau dann punktweise gegen Q, wenn gilt:

  • a) $Q_n(\phi )\rightarrow Q(\phi )$ für alle $\phi$ aus einer dichten Teilmenge von C[a, b];

  • b) $\sup _{n\in \mathbb {N}}\sum _{j=1}^n |w_j^{(n)}| < \infty$.

• (ii) Zeigen Sie, dass für die punktweise Konvergenz von $Q_n$ gegen Q hinreichend ist, dass gilt:

  • a) $Q_n(\phi )\rightarrow Q(\phi )$ für alle $\phi$ aus einer dichten Teilmenge von C[a, b];

  • b) $Q_n(1)\rightarrow Q(1)$;

  • c) $w_i^{(n)}\ge 0$ für alle $n\in \mathbb {N}$ und $i\in \mathbb {N}\cup \{0\}$.

Aufgabe 5.4

offene Abbildungen

• (i) Zeigen Sie, dass

  $$\begin{aligned} T:\mathbb {R}^2\rightarrow \mathbb {R},\qquad (x_1,x_2)\mapsto x_1, \end{aligned}$$

  offen ist

• (ii) Ist

  $$\begin{aligned} T:\mathbb {R}^2\rightarrow \mathbb {R}^2,\qquad (x_1,x_2)\mapsto (x_1,0), \end{aligned}$$

  offen?

• (iii) Zeigen Sie, dass eine offene Abbildung nicht notwendigerweise abgeschlossene Mengen auf abgeschlossene Mengen abbildet.

Aufgabe 5.5

Methode der sukzessiven Approximation

Sei X ein Banachraum und $A: X \rightarrow X$ ein beschränkter linearer Operator mit $\Vert A\Vert _{L(X, X)} < 1$. Zeigen Sie, dass für beliebige $f \in X$ die Folge der

$$\begin{aligned} \varphi _n := A\varphi _{n-1} + f, \quad n \in \mathbb {N}, \end{aligned}$$

mit beliebigem Startwert $\varphi _0 \in X$ gegen die eindeutige Lösung $\varphi$ von

$$\begin{aligned} \varphi - A\varphi = f \end{aligned}$$

konvergiert.

Aufgabe 5.6

Bilinearformen

Seien X und Y Banachräume und $B: X \times Y \rightarrow \mathbb {K}$ bilinear und partiell stetig, d. h. für alle $x \in X$ ist $y \mapsto B(x, y)$ linear und stetig und für alle $y \in Y$ ist $x \mapsto B(x, y)$ linear und stetig. Zeigen Sie, dass dann B stetig ist.