Skalarprodukte und Orthogonalität

Zusammenfassung

Versieht man Banachräume mit einer zusätzlichen geometrischen Struktur des Skalarprodukts, so erhält man dadurch einen Hilbertraum, in dem viele weitere Eigenschaften endlichdimensionaler Vektorräume erhalten bleiben. Insbesondere stehen dort die Werkzeuge der Orthogonalprojektion und der Orthonormalbasis zur Verfügung.

Aufgaben

Aufgabe 15.1

Beispiele von Hilberträumen

• (i) Sei $\mathbb {R}^{n\times n}$ der Raum der reellen $n\times n$-Matrizen, und für $A, B\in \mathbb {R}^{n\times n}$ sei

  $$\begin{aligned} (A, B) := {{\,\mathrm{\mathrm {tr}}\,}}(AB^T), \end{aligned}$$

  wobei ${{\,\mathrm{\mathrm {tr}}\,}}M$ die Spur und $M^T$ die Transponierte der Matrix M bezeichne. Zeigen Sie, dass dadurch ein Hilbertraum definiert wird. Folgern Sie daraus, dass für alle $A, B\in \mathbb {R}^{n\times n}$ die Identität

  $$\begin{aligned} |{{\,\mathrm{\mathrm {tr}}\,}}(AB^T)|^2 \le {{\,\mathrm{\mathrm {tr}}\,}}(AA^T){{\,\mathrm{\mathrm {tr}}\,}}(BB^T) \end{aligned}$$

  gilt.

• (ii) Zeigen Sie, dass $(\ell ^p(\mathbb {K}),\Vert \cdot \Vert _p)$ nur für $p=2$ ein Prä-Hilbertraum ist.

• (iii) Zeigen Sie, dass $(C([a, b]),\Vert \cdot \Vert _\infty )$ kein Hilbertraum ist.

Aufgabe 15.2

Orthogonalität über Norm

Sei X ein (nicht notwendigerweise reeller!) Hilbertraum und $x, y\in X$. Zeigen Sie, dass $(x, y)_X=0$ gilt genau dann, wenn gilt

$$ \Vert x+\alpha y\Vert _X = \Vert x-\alpha y\Vert _X \qquad \text {f}\ddot{\mathrm{{u}}}\text {r}\,\text {alle}\,\alpha \in \mathbb {K}. $$

Aufgabe 15.3

Konvergenz und Winkel

Sei X ein Hilbertraum und $\{x_n\}_{n\in \mathbb {N}}, \{y_n\}_{n\in \mathbb {N}} \subset B_X$. Zeigen Sie: Aus $(x_n, y_n)_X \rightarrow 1$ folgt $\Vert x_n - y_n\Vert _X \rightarrow 0$.

Aufgabe 15.4

Projektionen sind nicht-expansiv

Sei X ein Hilbertraum, $K\subset X$ nichtleer, konvex und abgeschlossen. Zeigen Sie, dass dann gilt:

$$ \Vert P_K(x)-P_K(\tilde{x})\Vert _X \le \Vert x-\tilde{x}\Vert _X\qquad \text {f}\ddot{\mathrm{{u}}}\text {r}\,\text {alle}\, x, \tilde{x} \in X. $$

Aufgabe 15.5

Hahn–Banach in Hilberträumen

Sei X ein Hilbertraum und U ein abgeschlossener Unterraum von X. Zeigen Sie, dass jedes stetige Funktional auf U normgleich auf X fortgesetzt werden kann, indem Sie die Fortsetzung explizit konstruieren.

Hinweis: Verwenden Sie die Projektion $P_U$ auf U .