Abstract
In this section, I will discuss two key breakthroughs achieved by Heisenberg in the years 1957/58, which ultimately convinced him that he was on the right track, led him to present his theory in several overblown public presentations, and temporarily even convinced Pauli to join Heisenberg in his endeavor. The two breakthroughs concerned the possible mathematical consistency of the theory and its possible empirical adequacy in the face of the burgeoning number of new particles being discovered at high-energy accelerators. We will discuss these two breakthroughs in turn, beginning with the question of consistency.
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Notes
- 1.
WHP, Folder 1774.
- 2.
It is, consequently, arguable whether the Lee Model really qualifies as a field theory. In the interaction terms one half of the field operator (corresponding to the inverse process involving anti-mesons) is always dropped and the theory is really only defined in terms of annihilation and creation operators. The honor of being the first exactly solvable QFT would then go to the (massless) Thirring (1958) Model, which was in fact a one-dimensional toy version of Heisenberg’s non-linear spinor theory.
- 3.
Note that the numbers of nucleons are not divided into separate momentum states, due to their being very heavy. The “infinite” mass of the nucleons merely meant that their kinetic energy was always considered negligible compared to their rest energy, i.e., to their mass. Each nucleon still gave a finite but constant contribution to the total energy of the state, which was simply the nucleon mass.
- 4.
Pauli consequently referred to this very low-lying state as the “crevasse” (Gletscherspalte), Letter from Pauli to Källén of 4 November 1954, PSC IV-II.
- 5.
Letter from Wolfhart Zimmermann to Kurt Symanzik, 30 October 1955, WZP, Folder Symanzik Correspondence.
- 6.
In a letter of 2 January 1957, Pauli had worried about the loss of V as an actual particle and whether Heisenberg, in his full model, might not accidentally lose the electron. But this was just a side remark and was not directly relevant to the specific question whether the dipole Lee Model was unitary.
- 7.
Wenn Dir z.B. ein Mädchen nicht gefällt, kannst Du sie einfach gehen lassen. Du kannst ihr aber nicht mit irgendeiner Wirksamkeit Befehle erteilen, dass sie schöner oder intelligenter zu werden habe. Es wird sich dadurch gar nichts ändern.
- 8.
Nun rate ich Dir dringend, Dich ganz deiner Erholung zu widmen, zu der ich Dir das Beste wünsche, und die Sache vorerst ruhen zu lassen! Was das letztere betrifft (das Ruhenlassen) so werde \(\underline{ich}\) es ganz bestimmt tun.
- 9.
Dein Brief vom 31. Januar ist wieder ein reeller Fortschritt! Du gibst zu, dass Du die Existenz einer Lösung mit einfachem Pol beim Lee-Modell \(\underline{nicht}\) beweisen kannst. (Von deinem Beweisansatz glaube ich natürlich keine Silbe.) Damit lässt sich aber nun das Rational-Logische vom Irrationalen (Intuitionen, Erwartungen, “Glaubensbekenntnisse”) trennen. [...] Ich bin mir so gut wie sicher, dass [...] im Endzustand \(\underline{doch}\) die anormalen Zustände auftreten [...] Das kommt bei mir aus der \(\underline{Mathematik}, \underline{nicht}\) aus einer “Philosophie”! (Eine unphysikalische Theorie muss eben mathematisch sehr vorsichtig und exakt behandelt werden). PSC IV-IV.
- 10.
Dann werden im Anfangszustand des zweiten Prozesses die unphysikalischen \(V_0 + \Theta \) -Zustände [...] nicht in der richtigen Beimischung zu den physikalischen Zuständen vorhanden sein, um Unitarität der S-Matrix beim zweiten Prozess hervorzubringen. Und es wird keine Lösung geben, um den totalen Streuprozess (den früheren \(\underline{und}\) den späteren) richtig darzustellen.
Ich bin also \(\underline{wieder \, genau \, dort, \, wo \, ich \, vorher \, war}!\).
- 11.
Nun habe ich also etwas gelernt: es ist \(\underline{nicht}\) so, wie du es in Pisa erzählt hast: dass nämlich aus einem beliebigen Anfangszustand \(\underline{ohne}\) B-Zustand auch im Lauf der Zeit [...] kein B-Zustand entsteht. Das war \(\underline{falsch}!\) Sondern: man soll den Anfangszustand durch Hinzufügen (unmessbarer) \(\underline{ein}\)laufender A-Wellen so einrichten, dass der Endzustand [...] keinen B-Zustand enthält. Das ist \(\underline{gar \, keine \, Auswahlregel}\) [...]; es dürfte aber den großen Vorzug haben, mathematisch richtig zu sein.
- 12.
Das zentrale Problem bleibt ja \(\underline{die \, mathematische \, Existenz \, der \, Heisenberg-Modelle}\). [...] Aber im Moment weiss ich da keine mathematischen Methoden, die uns \(\underline{beide}\) überzeugen könnten, und vorläufig wird daher jeder bei \(\underline{seiner}\) Meinung darüber bleiben.
- 13.
An early example is the calculation of the anomalous magnetic moments of the nucleons by Borowitz and Kohn (1949): Calculating in exact analogy to Schwinger’s calculation of the anomalous magnetic moment of the electron, they found that for their second-order perturbation calculations to be valid, they would have to set the coupling constant to 7 (to fit the neutron magnetic moment) or even 52 (to fit the proton).
- 14.
As is obvious from a representation of the perturbation series in terms of Feynman diagrams, there is a close correlation between the order of perturbation theory and the number of (virtual) particles involved.
- 15.
Natürlich weiss ich, dass einen der Teufel mit dem Namen “Übereinstimmung mit der Erfahrung” übel in die Irre führen kann; aber ich kann mir doch nicht mehr denken, dass all diese Überraschungen reiner Zufall sind. Der Eindruck auf mich selbst war so stark, dass ich in die Stimmung kam: “selbst wenn sich die Axiomatik nicht widerspruchsfrei durchführen lässt, wird sich diese Theorie zur richtigen etwa verhalten wie die Bohrsche Theorie des Atombaus zur Quantenmechanik.”
- 16.
Heisenberg intermittently touched upon the possibility that his theory might ultimately also be able to address gravitational phenomena, e.g., in a letter to Pauli of 10 February 1958. But this was never systematically pursued, a clear indication of the still marginal status of quantum gravity, even within programs to construct a final theory of microscopic physics.
- 17.
It should be remarked that Heisenberg saw this differently. When he sent the paper with Ascoli to Christian Møller in a letter of 30 November 1956 (WHP, Folder 1774), he wrote: “some mistakes appeared in the calculations, which had to be eliminated, and this also led to a slight change in the value of the fine structure constant.”
- 18.
Unbefriedigend bleibt einstweilen noch die große Willkür, die bei der Wahl der [...] H(x) zu bestehen scheint, aber man kann hoffen, dass die richtigen Funktionen durch besondere Eigenschaften, etwa durch Einfachheit oder durch Invarianz bei bestimmten Transformationen ausgezeichnet sind (Heisenberg 1950, p. 259).
- 19.
Ich finde es daher ausserordentlich interessant, dass Sie in Ihrer Arbeit eine Invarianzgruppe angeben, aus der der zugehörige Erhaltungssatz folgt. Da ich leider ein schlechter Mathematiker bin, wäre ich Ihnen übrigens dankbar, wenn Sie mir einmal ein paar einfache Beispiele für Hamilton- oder Lagrange-Funktionen aufschreiben würden, die Ihrer Invarianzforderung genügen, also z.B. eine Lagrange-Funktion, die nur von einer Spinorfunktion \(\psi \) abhängt, die diese Wellenfunktion aber nicht nur quadratisch, sondern auch mit einem Glied vierter Ordnung oder in noch komplizierterer Weise enthält. PJP.
- 20.
Im ganzen ist aber das System von Elementarteilchen, das aus [...] entspringt, offenbar einfacher und damit weniger reichhaltig als das der wirklichen Elementarteilchen; denn bei den wirklichen Elementarteilchen gibt es mindestens zwei Erhaltungssätze der Ladung (Elektrische Ladung und Nukleonenzahl) [...] Die Wellengleichung der wirklichen Materie wird also wohl etwas komplizierter sein müssen... (Heisenberg 1954, p. 302).
- 21.
Following an idea by D’Espagnat and Prentki (1955). See also Karpman (1957).
- 22.
This should not be confused with the Pauli Group in quantum information theory.
- 23.
Since Heisenberg had not spelled out the symmetry-breaking dynamics, which are only encapsulated in the regularized anti-commutator, it was not clear what role a degenerate vacuum might already play in the symmetry-breaking dynamics. For Heisenberg and Pauli, symmetry breaking and vacuum degeneracy were initially certainly disconnected, as witnessed, e.g., by a remark by Pauli in a letter of 27 January 1958 (PSC IV-IV), in which he was exploring the possibility of doing without a degenerate vacuum: “After all, it isn’t the vacuum state itself that is responsible for the reduction of symmetry...”
- 24.
[D]ie Züge eines mathematischen Strukturbildes der “Elementar”teilchen werden allmählich sichtbar und ich hoffe nun, dass das \(\underline{neue \, Jahr \, 1958}\) die \(\underline{v\ddot{o}llige \, Kl\ddot{a}rung}\) bringen wird! Letter from Pauli to Källén, 19 December 1957.
- 25.
Letter to Jung of 5 August 1957. This letter is not reprinted in Pauli’s scientific correspondence, but rather in (Meier 1992).
- 26.
Ich hatte weder Zeit zu telephonieren, noch sonstwie mit Ihnen in Kontakt zu kommen in diesen für mich stürmischen Tagen: eine neue physikalisch-mathematische Theorie der kleinsten Teilchen ist im Entstehen begriffen, und ich bin in sehr enger Zusammenarbeit mit Heisenberg darüber. ([...] [D]er Beitrag eines mir persönlich unbekannten Türken (!), der zur Zeit in Brookhaven ist, war mir sehr wichtig.) Eine Flut von Briefen zwischen Göttingen und Zürich geht hin und her, noch begleitet von einem telephonischen Anruf aus Göttingen–betreffend Mathematik!
Also, Sie sehen, liebe Frau Jaffé: “the line is busy”. Gespiegelt (wörtlich–als mathematische Operation) wird dabei \(\underline{viel}\) [...]
Heisenberg ist menschlich sehr verschieden von mir; wir können aber deshalb so gut miteinander arbeiten, weil wir \(\underline{vom \, selben \, Archetypus \, ergriffen}\) sind. [...]
Auf all dies war ich vorbereitet durch einen \(\underline{Traum}\) [...]: “In unserem ehelichen Schlafzimmer entdeckte ich plötzlich zwei Kinder, einen Bub und ein Mädchen, beide blond. Sie sind einander sehr ähnlich–so wie wenn sie bis vor kurzem noch ein und dasselbe gewesen wären–und beide sagten zu mir: ‘Wir sind schon 3 Tage hier. Wir finden es hier sehr nett, es hat uns nur niemand bemerkt.’ [...]
Ich war über diesen Traum sehr aufgeregt, viele Tage. “Bei den drei Tagen” fiel mir sofort ein, dass ich genau 3 Tage vorher mit Heisenberg in Zürich zu Abend gegessen hatte, als er–nur zwischen 2 Zügen–auf der Durchreise hier war. Einige Ideen von ihm hatten mir Eindruck gemacht; mein “Spiegelkomplex” war mächtig angeregt durch sie.”
- 27.
Nun kommt das Stadium, wo die Grundideen publik sein werden. H. und ich erwarten eine Art “run” darauf hin. Aber wir finden, dass es nicht viel ausmacht, \(\underline{wer}\) dann \(\underline{zuerst}\) weitere mathematische Konsequenzen entwickelt. Wir sind hinsichtlich der Priorität für die Grundideen nun gedeckt und der Rest scheint uns sekundär. Es ist wichtiger, dass der “Bub” sich möglichst schnell entwickelt. Drücken wir die Sache so aus: der Bub geht nun in die Schule. Es ist ohnehin alles zu viel für \(\underline{einen}\), aber wahrscheinlich auch zu viel für zwei. Letter to Rosbaud of 22 January 1958, PRP, Rosbaud-Pauli Correspondence.
- 28.
This interpretation is given by Konrad Bleuler in his recollections. In a manuscript entitled “Wolfgang Pauli and Werner Heisenberg: personal memories”, dated 1985, he writes: “Meeting Pauli many times during this really critical period and realizing the incredible intensity of his efforts, I cannot help thinking that he must have felt - signs of his fatal disease were in fact apparent—but did not really know that his time for work was by now limited.” (NBLA).
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Blum, A.S. (2019). Heisenberg Triumphant. In: Heisenberg’s 1958 Weltformel and the Roots of Post-Empirical Physics. SpringerBriefs in History of Science and Technology. Springer, Cham. https://doi.org/10.1007/978-3-030-20645-1_3
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