Ueber die Zahl π

Zusammenfassung

Bei der Vergeblichkeit der so ausserordentlich zahlreichen Versuche**), die Quadratur des Kreises mit Cirkel und Lineal auszuführen, hält man allgemein die Lösung der bezeichneten Aufgabe für unmöglich; es fehlte aber bisher ein Beweis dieser Unmöglichkeit; nur die Irrationalität von π und von x ² ist festgestellt. Jede mit Cirkel and Lineal ausführbare Construction lässt sich mittelst algebraischer Einkleidung zurückführen auf die Lösung von linearen und quadratischen Gleichungen, also auch auf die Lösung einer Reihe von quadratischen Gleichungen, deren erste rationale Zahlen zu Coefficienten hat, während die Coefficienten jeder folgenden nur solche irrationale Zahlen enthalten, die durch Auflösung der vorhergehenden Gleichungen eingeführt sind. Die Schlussgleichung wird also durch wiederholtes Quadriren übergeführt werden können in eine Gleichung geraden Grades, deren Coefficienten rationale Zahlen sind. Man wird sonach die Unmöglichkeit der Quadratur des Kreises darthun, wenn man nachweist, dass die Zahl π überhaupt nicht Wursel einer algebraischen. Gleichung irgend welchen Grades mit rationalen Coefficienten sein Kann. Den dafür nöthigen Beweis zu erbringen, ist im Folgenden versucht worden.

Vergl. eine Mattheilung des 11rn. Weierstrass an die Berliner Al;xdomie, vom 22. Juni 188.2.

Man sehe die Artikel Cycloinetrie, Quadratur urd Rectification in Klugcl’s, mathematischen Wöcterbuche.