Advertisement

Kummer Exits

  • Paulo Ribenboim

Abstract

After having established Fermat’s theorem for regular prime exponents, Kummer continued his work, considering the first case for arbitrary prime exponents. He was able to derive congruences, involving Bernoulli numbers, which must be satisfied by any would-be solution. From these congruences, he derived specific divisibility properties about Bernoulli numbers.

Keywords

Prime Ideal Class Number Principal Ideal Bernoulli Number Unique Integer 
These keywords were added by machine and not by the authors. This process is experimental and the keywords may be updated as the learning algorithm improves.

Preview

Unable to display preview. Download preview PDF.

Unable to display preview. Download preview PDF.

Bibliography

  1. 1801 Gauss, C. F. Disquisitiones Arithmeticae, G. Fleischer, Leipzig, 1801. Translated into English by Arthur A. Clarke. Yale University Press, New Haven, 1966.Google Scholar
  2. 1837 Jacobi, C.G.J. Über die Kreistheilung und ihre Anwendung auf die Zahlentheorie. Monatsber. Akad. d. Wiss., Berlin, 1837. Reprinted J. reine u. angew. Math., 130, 1846, 166–182.Google Scholar
  3. 1846 Kummer, E. E.* Über die Divisoren gewisser Formen der Zahlen, welche aus der Theorie der Kreistheilung entstehen. J. reine u. angew. Math., 30, 1846, 107–116.MATHCrossRefGoogle Scholar
  4. 1847 Cauchy, A. Mémoire sur diverses propositions relatives à la Théorie des Nombres. C. R. Acad. Sci. Paris, 25, 1847, 177–183. Reprinted in Oeuvres Complètes (1), 10, Gauthier-Villars, Paris, 1897, 360–366.Google Scholar
  5. 1847 Kummer, E. E. Zur Theorie der complexen Zahlen. J. reine u. angew. Math., 35, 1847, 319–326.MATHCrossRefGoogle Scholar
  6. 1847 Kummer, E. E. Über die Zerlegung der aus Wurzeln der Einheit Gebildeten complexen Zahlen in ihren Primfactoren. J. reine u. angew Math., 35, 1847, 327–367.MATHCrossRefGoogle Scholar
  7. 1851 Kummer, E. E. Mémoire sur la théorie des nombres complexes composés de racines de l’unité et de nombres entiers. J. Math. Pures et Appl., 16, 1851, 377–498.Google Scholar
  8. 1852 Genocchi, A. Intorno all espressioni generali di numeri Bernoulliani. Annali di scienze mat. e fisiche, compilati da Barnaba Tortolini, 3, 1852, 395–405.Google Scholar
  9. 1852 Kummer, E. E. Über die Ergänzungssätze zu den allgemeinen Reciprocitätsgesetzen. J. reine u. angew. Math., 44, 1852, 93–146.MATHCrossRefGoogle Scholar
  10. 1857 Kummer, E. E. Über die den Gaussischen Perioden der Kreistheilung entsprechenden Kongruenzwurzeln. J. reine u. angew. Math. 53, 1857, 142–148.MATHCrossRefGoogle Scholar
  11. 1857 Kummer, E. E. Einige Sätze über die aus den Wurzeln der Gleichung αλ = 1 gebildeten complexen Zahlen, für den Fall dass die Klassenzahl durch λ theilbar ist, nebst Anwendungen derselben auf einen weiteren Beweis des letztes Fermat’schen Lehrsatzes. Math. Abhandl. Akad. d. Wiss., Berlin, 1857, 41–74.Google Scholar
  12. * See also Collected Papers, vol. I, edited by A. Weil, Springer-Verlag, Berlin, 1975.Google Scholar
  13. 1861 Kummer, E. E. Über die Klassenanzahl der aus n-ten Einheitswurzeln gebildeten complexen Zahlen. Monatsber, Akad. d. Wiss., Berlin, 1861, 1051–1053.Google Scholar
  14. 1870 Kummer, E. E. Über eine Eigenschaft der Einheiten der aus den Wurzeln der Gleichung αλ = 1 gebildeten complexen Zahlen, und über den zweiten Factor der Klassenzahl. Monatsber. Akad. d. Wiss., Berlin, 1870, 855–880.Google Scholar
  15. 1874 Kummer, E. E. Über diejenigen Primzahlen λ fur welche die Klassenzahl der aus λ-ten Einheitswurzeln gebildeten complexen Zahlen durch λ theilbar ist. Monatsber. Akad. d. Wiss., Berlin, 1874, 239–248.Google Scholar
  16. 1886 Genocchi, A. Sur les nombres de Bernoulli (extrait d’une lettre adressée à M. Kronecker). J. reine u. angew. Math., 99, 1886, 315–316.MATHGoogle Scholar
  17. 1890 Stickelberger, L. Über eine Verallgemeinerung der Kreistheilung. Math. Annalen, 37, 1890, 321–367.MathSciNetMATHCrossRefGoogle Scholar
  18. 1893 Mirimanofr, D. Sur l’équation x 37 + y 37 + z37 = 0. J. reine u. angew. Math. 111, 1893, 26–36.Google Scholar
  19. 1897 Hilbert, D. Die Theorie der algebraischen Zahlkörper. Jahresber. d. Deutschen Math. Verein., 4, 1897, 175–546. Also in Gesammelte Abhandlungen, vol. 1, Springer-Verlag, Berlin, 1932 (Reprinted by Chelsea Publ. Co., New York, 1965).Google Scholar
  20. 1913 Maillet, E. Question 4269. L’Interm. des Math., 20, 1913, 218.Google Scholar
  21. 1914 Malo, E. Réponse à la question 4269. L’Interm. des Math., 21, 1914, 173–176.Google Scholar
  22. 1916 Mitchell, H. H. On the generalized Jacobi-Kummer cyclotomic function. Trans. Amer. Math. Soc., 17, 1916, 165–177.MathSciNetMATHCrossRefGoogle Scholar
  23. 1917 Mertens, F. Über den Kummer’schen Logarithmus einer komplexen Zahl des Bereich einer primitiven λ-ten Einheitswurzeln in bezug auf den Modul λ 1+n, wo λ eine ungerade Primzahl bezeichnet. Sitzungsberichte d. Akad. der Wiss. zu Wien, Abt. IIa, 126, 1917, 1337–1343.MATHGoogle Scholar
  24. 1919 Vandiver, H. S. A property of cyclotomic integers and its relation to Fermat’s last theorem. Annals of Math., 21, 1919, 73–80.MathSciNetMATHCrossRefGoogle Scholar
  25. 1920 Vandiver, H. S. On Kummer’s memoir of 1857 concerning Fermat’s last theorem. Proc. Nat. Acad. Sci. U.S.A., 6, 1920, 266–269.MATHCrossRefGoogle Scholar
  26. 1922 Fueter, R. Kummers Kriterien zum letzten Theorem von Fermat. Math. Annalen, 85, 1922, 11–20.MathSciNetMATHCrossRefGoogle Scholar
  27. 1922 Vandiver, H. S. On Kummer’s memoir of 1857 concerning Fermat’s last theorem. Bull. Amer. Math. Soc., 28, 1922, 400–407.MathSciNetMATHCrossRefGoogle Scholar
  28. 1926 Vandiver, H. S. Summary of results and proofs concerning Fermat’s last theorem. Proc. Nat. Acad. Sci. U.S.A., 12, 1926, 106–109.CrossRefGoogle Scholar
  29. 1926 Vandiver, H. S. Summary of results and proofs concerning Fermat’s last theorem (second note). Proc. Nat. Acad. Sci. U.S.A., 12, 1926, 767–772.CrossRefGoogle Scholar
  30. 1928 Vandiver, H. S. and Wahlin, G. E. Algebraic Numbers, II, Bull. Nat. Res. Council, 62, 1928. Reprinted by Chelsea Publ. Co., New York, 1967.Google Scholar
  31. 1951 Ankeny, N. C. and Chowla, S. The class number of the cyclotomic field. Can. J. Math., 3, 1951, 486–494.MathSciNetMATHCrossRefGoogle Scholar
  32. 1955 Carlitz, L. and Olson, F. R. Maillet’s determinant. Proc. Amer. Math. Soc., 6, 1955, 265–269.MathSciNetMATHGoogle Scholar
  33. 1961 Carlitz, L. A generalization of Maillet’s determinant and a bound for the first factor of the class number. Proc. Amer. Math. Soc., 12, 1961, 256–261.MathSciNetMATHGoogle Scholar
  34. 1964 Schrutka von Rechtenstamm, G. Tabelle der Relativ-Klassenzahlen der Kreiskörper deren φ-Funktion des Wurzel exponenten (Grad) nicht grösser als 256 ist. Abhandl. Deutsche Akad. Wiss., Berlin, Kl. Math. Phys., No. 2, 1964, 1–64.Google Scholar
  35. 1965 Ankeny, N. C., Chowla, S., and Hasse, H. On the class number of the maximal real subfield of a cyclotomic field. J. reine u. angew. Math., 217, 1965, 217–220.MathSciNetMATHGoogle Scholar
  36. 1966 Siegel, C. L. Zu zwei Bemerkungen Kummers. Nachr. Akad. Wiss. Göttingen, Math. Phys. Kl. II, 1964, 51–57. Reprinted in Gesammelte Abhandlungen., III, Springer-Verlag, New York, 1966, 436–442.Google Scholar
  37. 1970 Newman, M. A table of the first factor for prime cyclotomic fields. Math. Comp., 24, 1970, 215–219.MathSciNetMATHCrossRefGoogle Scholar
  38. 1971 Uchida, K. Class numbers of imaginary abelian number fields, III. Tôhoku Math. J., 23, 1971, 573–580.MathSciNetMATHCrossRefGoogle Scholar
  39. 1972 Masley, J. M. On the Class Number of Cyclotomic Fields. Thesis, Princeton University, 1972, 51 pages.Google Scholar
  40. 1972.
    Metsänkylä, T. On the growth of the first factor of the cyclotomic class number. Ann. Univ. Turku, Ser. A, I, 1972, No. 155, 12 pages.Google Scholar
  41. 1974 Lepistö, T. On the growth of the first factor of the class number of the prime cyclotomic field. Ann. Acad. Sci. Fennicae, Ser. A. I, 1974, No. 577, 18 pages.Google Scholar
  42. 1974 Metsänkylä, T. Class numbers and μ-invariants of cyclotomic fields. Proc. Amer. Math. Soc., 43, 1974, 299–300.Google Scholar
  43. 1975 Maury, G. Idéaux des Corps Cyclotomiques. Thèse, Univ. Paul Sabatier, Toulouse, 1975, 54 pages.Google Scholar
  44. 1976 Lehmer, D. H. and Masley, J. M. Table of the cyclotomic class numbers h*(p) and their factors 200 <p< 512. Preprint.Google Scholar
  45. 1976 Masley, J. M. and Montgomery, H. L. Unique factorization in cyclotomic fields. J. reine u. angew. Math., 286/7, 1976, 248–256.MathSciNetGoogle Scholar
  46. 1976 Pajunen, S. Computation of the growth of the first factor for prime cyclotomic fields. BIT, 16, 1976, 85–87.MathSciNetMATHCrossRefGoogle Scholar
  47. 1977 Lang, S.-D. Note on the class-number of the maximal real subfield of a cyclotomic field. J. reine u. angew. Math., 290, 1977, 70–72.MATHGoogle Scholar

Copyright information

© Springer-Verlag New York Inc. 1979

Authors and Affiliations

  • Paulo Ribenboim
    • 1
  1. 1.Department of Mathematics and StatisticsJeffery Hall Queen’s UniversityKingstonCanada

Personalised recommendations