Advertisement

Variations and Fugue on a Theme

  • Paulo Ribenboim

Abstract

As composers sometimes do, when they strike a rich theme, mathematicians also like to consider variations of an interesting problem.

Keywords

Entire Function Nontrivial Solution Trivial Solution Theta Function Diophantine Equation 
These keywords were added by machine and not by the authors. This process is experimental and the keywords may be updated as the learning algorithm improves.

Preview

Unable to display preview. Download preview PDF.

Unable to display preview. Download preview PDF.

Bibliography

  1. 1829.
    Jacobi, C. G. J. Fundamenta Nova Theoriae Functionum Ellipticarum. Gesammelte Werke, I, Königsberg, 1829, 49–239. Königl. Preussischen Akad. d. Wiss. Reimer, Berlin, 1881.Google Scholar
  2. 1879.
    Liouville, R. Sur l’impossibilité de la relation algébrique X n + Y n + Z n = 0. C.R. Acad. Sci. Paris, 87, 1879, 1108–1110.Google Scholar
  3. 1880.
    Korkine, A. Sur l’impossibilité de la relation algébrique X n + Y n + Z n = 0. C.R. Acad. Sci. Paris, 90, 1880, 303–304.Google Scholar
  4. 1913.
    Fueter, R. Die Diophantische Gleichung ζ 3 + η 3 + ζ 3 = 0. Sitzungsberichte Heidelberg Akad. d. Wiss., 1913, 25. Abh., 25 pp.Google Scholar
  5. 1915.
    Burnside, W. On the rational solutions X 3 + Y 3 + Z3 = 0 in quadratic fields Proc. London Math. Soc., 14, 1915, 1–4.Google Scholar
  6. 1924.
    Nagell, T. Über die rationale Punkte auf einigen kubischen Kurven. Tôhoku Math. J., 24, 1924, 48–53.MATHGoogle Scholar
  7. 1927a.
    Artin, E. and Schreier, O. Eine Kennzeichnung der reell abgeschlossenen Körper. Hamburg Abhandl., 5, 1927, 225–231.MATHCrossRefGoogle Scholar
  8. 1927b.
    Artin, E. and Schreier, O. Eine Kennzeichnung der reell abgeschlossenen Körper. Reprinted in Artin’s Collected Papers Addison-Wesley, Reading, Mass., 1965, 289–295.Google Scholar
  9. 1930.
    Fueter, R. Über kubische diophantische Gleichungen. Comm. Math. Helv., 2, 1930, 69–89.MathSciNetMATHCrossRefGoogle Scholar
  10. 1932.
    Scholz, A. Über die Beziehung der Klassenzahlen quadratischer Zahlkörper zueinander. J. reine u. angew. Math. 166, 1932, 201–203.Google Scholar
  11. 1934.
    Aigner, A. Über die Möglichkeit von x 4 + y 4 = z 4 in quadratischen Körpern. Jahresber. d. Deutschen Math. Verein. 43, 1934, 226–229.Google Scholar
  12. 1938.
    Fogels, E. Über die Möglichkeit einiger diophantischer Gleichung 3. und 4. Grades in quadratischen Körpern. Comm. Math. Helv. 10, 1938, 263–269.MathSciNetMATHCrossRefGoogle Scholar
  13. 1939.
    Etherington, I. M. H. On non-associative combinations. Proc. R. Soc. Edinburgh, Section A, 59, 1939, 153–162.MathSciNetGoogle Scholar
  14. 1939.
    Iyer, G. On certain functional equations. J. Indian Math. Soc., 3, 1939, 312–315.MathSciNetGoogle Scholar
  15. 1944.
    Duarte, F. J. On the equation x 3 + y 3 + z3 = 0. Bul Acad. Ci. Fis. Mat. Nat. (de Venezuela) 8, 1944, 971–979.MathSciNetGoogle Scholar
  16. 1949.
    Etherington, I. M. H. Non-associative arithmetics. Proc. R. Soc. Edinburgh, Section A, 62, 1949, 442–453.MathSciNetGoogle Scholar
  17. 1949.
    Robinson, A. On non-associative systems. Proc. Edinburgh Math. Soc., 8, 1949, 111–118.MathSciNetMATHCrossRefGoogle Scholar
  18. 1950.
    Sierpiński, W. Le dernier théorème de Fermat pour les ordinaux. Fund. Math. 37, 1950, 201–205.MathSciNetMATHGoogle Scholar
  19. 1952.
    Aigner, A. Weitere Ergebnisse über x 3 + y 3 = z 3 in quadratischen Körpern. Monatsh. Math. 56, 1952, 240–252.MathSciNetMATHCrossRefGoogle Scholar
  20. 1952.
    Aigner, A. Ein zweiter Fall der Unmöglichkeit von x 3 + y 3 = z 3 in quadratischen Körpern mit durch 3 teilbaren Klassenzahl. Monats. Math., 56, 1952, 335–338.MathSciNetMATHCrossRefGoogle Scholar
  21. 1952.
    Obláth, R. Über einige unmögliche diophantische Gleichungen. Matem. Tidsskrift, ser. A, 1952, 53–62.Google Scholar
  22. 1955.
    van der Pol, B. Démonstration élémentaire de la relation \( \theta_3^4 = \theta_0^4 + \theta_2^4 \) . Enseignment Math., (2), 1, 1955, 258–261.Google Scholar
  23. 1956.
    Aigner, A. Die kubishe Fermatgleichung in quadratischen Körpern. J. reine u. anqew. Math. 195, 1956, 3–17.MathSciNetMATHGoogle Scholar
  24. 1956.
    Aigner, A. Unmöglichkeitskernzahlen der kubischen Fermatgleichung mit Primfaktoren der Art 3n + 1. J. reine u. angew. Math. 195, 1956, 175–179.Google Scholar
  25. 1957.
    Aigner, A. Die Unmöglichkeit von x 6 + y 6 = z 6 und x 9 + y 9 = z 9 in quadratischen Körpern. Monatsh. f. Math., 61, 1957, 147–150.MathSciNetMATHCrossRefGoogle Scholar
  26. 1957.
    Evans, T. Non-associative number theory. Amer. Math. Monthly, 64, 1957, 299–309.MathSciNetMATHCrossRefGoogle Scholar
  27. 1958.
    Leopoldt, H. W. Zur Struktur der l-Klassengruppe Galoisscher Zahlkörper. J. reine u. anqew. Math., 199, 1958, 165–174.MathSciNetMATHGoogle Scholar
  28. 1959.
    Minc, H. Theorems on non-associative number theory. Amer. Math. Monthly, 66, 1959, 486–488.MathSciNetMATHCrossRefGoogle Scholar
  29. 1961.
    Barnett, I. A. and Weitkamp, H. M. The equation X n + Y n + Z n = 0 in rational binary matrices. An. Str. Univ. “Al. I. Cuza”, Iasi, Seçt 1, (NS) 7, 1961, 1–64.MathSciNetMATHGoogle Scholar
  30. 1961.
    Bellman, R. A Brief Introduction to Theta Functions, Holt, Rinehart and Winston, New York 1961.MATHGoogle Scholar
  31. 1961.
    Orts Aracil, J. M. A conjecture concerning Fermat’s last theorem (in Spanish). Mem. Real Acad. Ci. Art. Barcelona, 34, 1961, 17–25.MathSciNetGoogle Scholar
  32. 1962.
    Rodrigues-Salinas, B. On Fermat’s last theorem and the equation (∂ n u/∂x n ) + (∂ n u/∂y n ) = n u/∂z n (in Spanish). Univ. Lisbôa, Rev. Fac. Ci, A, (2), 9, 1962, 35–43.Google Scholar
  33. 1962.
    Shanks, D. Solved and Unsolved Problems in Number Theory, I, Spartan, Washington, 1962. Reprinted by Chelsea Publ. Co., New York, 1979.Google Scholar
  34. 1965.
    Jategaonkar, A. V. Elementary proof of a theorem of P. Montei on entire functions. J. London Math. Soc. 40, 1965, 166–170.MathSciNetMATHCrossRefGoogle Scholar
  35. 1966.
    Casseis, J. W. S. Diophantine equations with special reference to elliptic curves. J. London Math. Soc., 41, 1966, 193–291.MathSciNetCrossRefGoogle Scholar
  36. 1966.
    Domiaty, R. Z. Solutions of x 4 + y 4 = z 4 in 2 × 2 integral matrices. Amer. Math. Monthly, 73, 1966, 631.MathSciNetMATHCrossRefGoogle Scholar
  37. 1966.
    Domiaty, R. Z. Lösungen der Gleichung x n + y n = z n mit n = 2 m im Ring gewisser ganzzahliger Matrizen. Elem. Math., 21, 1966, 5–7.MathSciNetMATHGoogle Scholar
  38. 1966.
    Gross, F. On the functional equation f n + g n = h n . Amer. Math. Monthly, 73, 1966, 1093–1096.MathSciNetMATHCrossRefGoogle Scholar
  39. 1966.
    Gross, F. On the equation f n + g n = 1. Bull. Amer. Math. Soc., 72, 1966, 86–88.MathSciNetMATHCrossRefGoogle Scholar
  40. 1967.
    Thérond, J. D. L’hypothèse de Fermat pour les exposants négatifs. Enseignement Math. (2), 13, 1967, 247–252.MathSciNetMATHGoogle Scholar
  41. 1968.
    Bolker, E. D. Solutions of A k + B k = C k in n × n integral matrices. Amer. Math. Monthly, 75, 1968, 759–760.MathSciNetMATHCrossRefGoogle Scholar
  42. 1968.
    Thérond, J. D. L’hypothèse de Fermat pour les exposants négatifs. Enseignement Math., (2), 14, 1968, 195–196.MathSciNetMATHGoogle Scholar
  43. 1969.
    Greenleaf, N. On Fermat’s equation in ℂ (t). Amer. Math. Monthly, 76, 1969, 808–809.MathSciNetMATHCrossRefGoogle Scholar
  44. 1972.
    Brenner, J. L. and de Pillis, J. Fermat’s equation A p + B p = C p for matrices of integers. Math. Mag., 45, 1972, 12–15.MathSciNetMATHCrossRefGoogle Scholar
  45. 1972.
    Nagell, T. Sur la résolubilité de l’équation x 2 + y 2 + z 2 = 0 dans un corps quadratique. Acta Arithm., 21, 1972, 35–43.MathSciNetMATHGoogle Scholar
  46. 1974.
    Szymiczek, K. Note on a paper by T. Nagell. Acta Arithm. 25, 1974, 313–314.MathSciNetMATHGoogle Scholar

Copyright information

© Springer-Verlag New York Inc. 1979

Authors and Affiliations

  • Paulo Ribenboim
    • 1
  1. 1.Department of Mathematics and StatisticsJeffery Hall Queen’s UniversityKingstonCanada

Personalised recommendations