L’action au Bord des Isométries

Résumé

L’essentiel de ce chapitre consiste à décrire la dynamique d’une isométrie d’un espace hyperbolique X. Le paragraphe 1 est préparatoire. On y construit des fonctions de Busemann et on y montre comment elles permettent de définir des métriques naturelles sur le bord de X privé d’un point. Ces métriques sont l’outil principal utilisé au paragraphe 2 pour classer les isométries en trois types: elliptique, hyperbolique et parabolique. Dans le troisième paragraphe, on se restreint au cas d’un groupe hyperbolique Γ. On déduit alors des résultats purement algébriques. Par exemple: le centralisateur d’un élément d’ordre infini de Γ contient un sous-groupe cyclique d’indice fini.