Cardinal Relations in ZF Only

Part of the Springer Monographs in Mathematics book series (SMM)

Abstract

In this chapter we shall compare different cardinal numbers in Zermelo–Fraenkel Set Theory, which is Set Theory without the Axiom of Choice. For example, it will be shown that for any infinite set A, the cardinality of the set of finite subsets of A is always strictly smaller than the cardinality of the power set of A.

References

  1. 1.
    Heinz Bachmann: Transfinite Zahlen. Springer, Berlin (1967) MATHCrossRefGoogle Scholar
  2. 2.
    Felix Bernstein: Untersuchungen aus der Mengelehre. Dissertation, University of Göttingen (Germany) (1901) Google Scholar
  3. 3.
    Felix Bernstein: Untersuchungen aus der Mengelehre. Math. Ann. 61, 117–155 (1905) MathSciNetMATHCrossRefGoogle Scholar
  4. 4.
    Georg Cantor: Beiträge zur Begründung der transfiniten Mengenlehre. I./II. Math. Ann. 46/49, 481–512 (1895/1897), 207–246 (see [5] for a translation into English) Google Scholar
  5. 5.
    Georg Cantor: Contributions to the Founding of the Theory of Transfinite Numbers (translation into English of [4]) [translated, and provided with an introduction and notes, by Philip E.B. Jourdain]. Open Court Publishing Company, Chicago (1915) [reprint: Dover, New York (1952)] Google Scholar
  6. 6.
    Georg Cantor: Gesammelte Abhandlungen mathematischen und philosophischen Inhalts, Mit Erläuternden Anmerkungen sowie mit Ergänzungen aus dem Briefwechsel Cantor–Dedekind, edited by E. Zermelo. Julius Springer, Berlin (1932) Google Scholar
  7. 7.
    Alonzo Church: Alternatives to Zermelo’s assumption. Trans. Am. Math. Soc. 29, 178–208 (1927) MathSciNetMATHGoogle Scholar
  8. 8.
    Richard Dedekind: Was sind und was sollen die Zahlen. Vieweg, Braunschweig (1888) (see also [9, pp. 335–390]) Google Scholar
  9. 9.
    Richard Dedekind: Gesammelte mathematische Werke III, edited by R. Fricke, E. Noether, Ö. Ore. Vieweg, Braunschweig (1932) Google Scholar
  10. 10.
    Georg Faber: Über die Abzählbarkeit der rationalen Zahlen. Math. Ann. 60, 196–203 (1905) MathSciNetMATHCrossRefGoogle Scholar
  11. 11.
    Thomas E. Forster: Finite-to-one maps. J. Symb. Log. 68, 1251–1253 (2003) MathSciNetMATHCrossRefGoogle Scholar
  12. 12.
    Abraham A. Fraenkel: Abstract Set Theory. Studies in Logic and the Foundations of Mathematics. North-Holland, Amsterdam (1961) MATHGoogle Scholar
  13. 13.
    Reuben L. Goodstein: On the restricted ordinal theorem. J. Symb. Log. 9, 33–41 (1944) MathSciNetMATHCrossRefGoogle Scholar
  14. 14.
    Lorenz Halbeisen: Vergleiche zwischen unendlichen Kardinalzahlen in einer mengenlehre ohne Auswahlaxiom. Diplomarbeit, University of Zürich (Switzerland) (1990) Google Scholar
  15. 15.
    Lorenz Halbeisen: A number-theoretic conjecture and its implication for set theory. Acta Math. Univ. Comen. 74, 243–254 (2005) MathSciNetMATHGoogle Scholar
  16. 16.
    Lorenz Halbeisen, Norbert Hungerbühler: Number theoretic aspects of a combinatorial function. Notes Number Theory Discrete Math. 5, 138–150 (1999) MathSciNetGoogle Scholar
  17. 17.
    Lorenz Halbeisen, Saharon Shelah: Consequences of arithmetic for set theory. J. Symb. Log. 59, 30–40 (1994) MathSciNetMATHCrossRefGoogle Scholar
  18. 18.
    Lorenz Halbeisen, Saharon Shelah: Relations between some cardinals in the absence of the axiom of choice. Bull. Symb. Log. 7, 237–261 (2001) MathSciNetMATHCrossRefGoogle Scholar
  19. 19.
    Lauri Kirby, Jeff B. Paris: Accessible independence results for Peano arithmetic. Bull. Lond. Math. Soc. 14, 285–293 (1982) MathSciNetMATHCrossRefGoogle Scholar
  20. 20.
    Djuro (George) Kurepa: On a characteristic property of finite sets. Pac. J. Math. 2, 323–326 (1952) MathSciNetMATHCrossRefGoogle Scholar
  21. 21.
    Hans Läuchli: Ein Beitrag zur Kardinalzahlarithmetik ohne Auswahlaxiom. Z. Math. Log. Grundl. Math. 7, 141–145 (1961) MATHCrossRefGoogle Scholar
  22. 22.
    Henri Lebesgue: Sur les fonctions représentables analytiquement. J. Math. Pures Appl. (6ème sér.) 1, 139–216 (1905) Google Scholar
  23. 23.
    Azriel Lévy: The independence of various definitions of finiteness. Fundam. Math. 46, 1–13 (1958) MATHGoogle Scholar
  24. 24.
    Adolf Lindenbaum, Alfred Tarski: Communication sur les recherches de la théorie des ensembles. C. R. Séances Soc. Sci. et des Lettres de Varsovie, Classe III 19, 299–330 (1926) MATHGoogle Scholar
  25. 25.
    John von Neumann: Die Axiomatisierung der Mengenlehre. Math. Z. 27, 669–752 (1928) MathSciNetMATHCrossRefGoogle Scholar
  26. 26.
    Jeff B. Paris: Combinatorial statements independent of arithmetic. In: Mathematics of Ramsey Theory, J. Nešetřil, V. Rödl (eds.), pp. 232–245. Springer, Berlin (1990) CrossRefGoogle Scholar
  27. 27.
    Ernst Schröder: Über zwei Definitionen der Endlichkeit und G. Cantor’sche Sätze. Nova Acta, Abh. Kais. Leopoldinisch - Carolinisch Deutsch. Akad. Naturforscher 71, 301–362 (1898) Google Scholar
  28. 28.
    Wacław Sierpiński: Sur l’égalité \(2\mathfrak {m}= 2\mathfrak {n}\) pour les nombres cardinaux. Fundam. Math. 3, 1–6 (1922) MATHGoogle Scholar
  29. 29.
    Wacław Sierpiński: Sur une décomposition effective d’ensembles. Fundam. Math. 29, 1–4 (1937) Google Scholar
  30. 30.
    Wacław Sierpiński: Sur l’implication \((2\mathfrak {m}\le 2\mathfrak {n}) \rightarrow (\mathfrak {m}\le \mathfrak {n})\) pour les nombres cardinaux. Fundam. Math. 34, 148–154 (1946) Google Scholar
  31. 31.
    Wacław Sierpiński: Sur la division des types ordinaux. Fundam. Math. 35, 1–12 (1948) MATHGoogle Scholar
  32. 32.
    Wacław Sierpiński: Sur les types d’ordre des ensembles linéaires. Fundam. Math. 37, 253–264 (1950) MATHGoogle Scholar
  33. 33.
    Wacław Sierpiński: Sur un type ordinal dénombrable qui a une infinite indénombrable de divisenrs gauches. Fundam. Math. 37, 206–208 (1950) MATHGoogle Scholar
  34. 34.
    Wacław Sierpiński: Cardinal and Ordinal Numbers. Państwowe Wydawnictwo Naukowe, Warszawa (1958) MATHGoogle Scholar
  35. 35.
    Ernst Specker: Verallgemeinerte Kontinuumshypothese und Auswahlaxiom. Arch. Math. 5, 332–337 (1954) MathSciNetMATHCrossRefGoogle Scholar
  36. 36.
    Ernst Specker: Zur Axiomatik der Mengenlehre (Fundierungs- und Auswahlaxiom). Z. Math. Log. Grundl. Math. 3, 173–210 (1957) MathSciNetMATHCrossRefGoogle Scholar
  37. 37.
    Ladislav Spišiak, Peter Vojtáš: Dependences between definitions of finiteness. Czechoslov. Math. J. 38(113), 389–397 (1988) Google Scholar
  38. 38.
    Alfred Tarski: Sur les ensembles finis. Fundam. Math. 6, 45–95 (1924) Google Scholar
  39. 39.
    Alfred Tarski: Cancellation laws in the arithmetic of cardinals. Fundam. Math. 36, 77–92 (1949) MathSciNetMATHGoogle Scholar
  40. 40.
    John K. Truss: Dualisation of a result of Specker’s. J. Lond. Math. Soc. (2) 6, 286–288 (1973) MathSciNetMATHCrossRefGoogle Scholar
  41. 41.
    John K. Truss: Classes of Dedekind finite cardinals. Fundam. Math. 84, 187–208 (1974) MathSciNetMATHGoogle Scholar

Copyright information

© Springer-Verlag London Limited 2012

Authors and Affiliations

  1. 1.Institut für MathematikUniversität ZürichZürichSwitzerland

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