Abstract
Minkowski died on January 12, 1909, at the age of 44 of a sudden and violent attack of appendicitis. The loss of his good friend enormously affected Hilbert. He had just returned to full creative activity, solving a classical, long-standing open problem in number theory, the so-called Waring’s problem. In content, this problem was not too distant from Minkowski’s own early investigations, as it deals with the possibility of representing any given integer as a sum of a specified number of powers of a certain kind (e.g., as a sum of four squares, as a sum of nine cubes, as a sum of 19 fourth powers, etc.). Hilbert’s solution, however, was thoroughly analytical in character and, curiously enough, it was triggered by an idea recently introduced, but not fully elaborated, by the third side of the old Königsberg triangle: Hurwitz. Very much like Hilbert’s first solution of the Gordan problem, this one was not a constructive one. The extremely complicated proof, which lacked the kind of conceptual clarity typical of Hilbert’s work in algebraic number fields, implied the existence, for each positive integer exponent n, of an integer G(n) such that any given integer is a sum of at most G(n) non-negative n-th powers. The proof used an identity in 25-fold multiple integrals, and did not provide a way to actually find the value of G(n). 3 This fact, of course, did by no means diminish the magnitude of the achievement, which was soon adopted by other, leading mathematicians working in this field who used it later as a starting point for important improvements over the next years.4
Conscious of the infinite complexities of the phenomena with which he is confronted in every experiment, [the physicist] resists the idea of considering a theory as something definitive. He therefore abhors the word“Axiom“, which in its usual usage evokes the idea of definitive truth.1
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References
Born 1922, 591.
Hilbert 1909a. Cf. Khinchin 1952, 37.
Cf. Rademacher & Toeplitz 1957, 52–61.
Cf., e.g., Hardy & Littlewood 1925. Hilbert’s proof of the Waring theorem also appeared prominently in Poincaré’s summary of Hilbert’s work for the Hungarian Academy of Science, when the Bolyai prize was awarded to Hilbert in the fall of 1910. See Poincaré 1912.
Cf. Reid 1970, 111–116.
Cf. Siegmund-Schultze 2003, 385–393.
Cf. Dieudonné 1981, 105–120; Hellinger 1935; Toeplitz 1922.
Hilbert 1909b, 57.
Hilbert 1909b, 72. I am indebted to Laura Rodriguez for directing my attention to this publication of Hilbert and this specific passage within it.
Hilbert 1912.
Hilbert 1912a.
As suggested in Schirrmacher 2003, 11–12.
Poincaré 1910. Hilbert was visibly enthusiastic about this“Poincaré Week” that he organized in April 22–28, 1909. Obviously, also Minkowski had been directly involved in the organization and his recent death was particularly felt at this occasion. Hilbert specifically asked Poincaré to devote at least one lecture to a topic in mathematical physics and another one to a topic of“logical-philosophical leaning”. See Hilbert to Poincaré, November 6, 1908; November 19, 1908; February 25, 1909 (AHP 540, 541, 542 — respectively).
Lorentz 1910.
Besides serving mainly as a source of funding for invited lectures in physics, the money of the Wolfskhel fund was also put to use for other, related aims. A detailed account of the spending of the fund between 1909 and 1919 annears in Schirrmacher 2M? 1Û6–1m
Cf. Eckert 1993. Ch. 4: Reid 1970. 129.
Cf. Schirrmacher 2002. 304–305.
Quoted in Jungnickel & McCormmach 1986_ Vol. 2. 26R
Cf. Katzir 2003.
Quoted in Jungnickel & McCormmach 1986, 269–271.
Voiat to Lorentz. May 19. 191 l . °uoted in .Tungnickel MeCormmach 1 9826 ’27 1
As argued in Schirrmacher 2003a, 7–8.
Cf. Jungnickel & McCormmach 1986, 272–273.
Hilbert 1906, 8–9:“Wir werden hier auf eine eingehende Beschreibung dieser molekularen Vorgänge zu verzichten haben und dafür nur die Parameter aufsuchen, von denen der meßbare Verzerrungszustand der Körper an jeder Stelle abhängt. Alsdann wird festzustellen sein, wie die Form der Abhängigkeit der Lagranschen Funktion von diesen Parametern ist, die sich ja eigentlich aus kinetischer und potentieller Energie der einzelnen Molekel zusammensetzen wird. Ähnlich wird man in der Thermodynamik nicht auf die Schwingungen der Molekel eingehen, sondern die Temperatur selbst als allgemeinen Parameter einführen, und die Abhängigkeit der Energie von ihr untersuchen.”
Hilbert 1910–11, 6.
Hilbert 1910–11, 292:“Alle grundlegenden Naturgesetzen entsprechenden Systeme von Differentialgleichungen sollen gegenüber der Lorentz-Transformation kovariant sein. ...Wir können durch Beobachtung von irgend welcher Naturvorgängen niemals entscheiden, ob wir ruhen, oder uns gleichformig bewegen. Diesen Weltpostulate genügen die Newtonschen Gleichungen der älteren Mechanik nicht, wenn wir die Lorentz Transformation zugrunde legen: wir stehen daher vor die Aufgabe, sich dementsprechend umgestalten.”
Hilbert 1910–11, 295:“Wir können nun an die Umgestaltung des Newtonsches Gesetzes gehen, dabei müssen wir aber Vorsicht verfahren, denn das Newtonsche Gesetz ist das desjenige Naturgesetz, das durch die Erfahrung in Einklang bleiben wollen. Dieses wird uns gelingen, ja noch mehr, wir können verlangen, dass die Gravitation sich mit Lichtgeschwindigkeit fortpflantzt. Die alte Theorie kann das nicht, eine Fortpfalnzung der Gravitation mit Lichtgeschwindigkeit widerspricht hier der Erfahrung: Die neue Theorie kann es, und man ist berechtigt, das als eine Vorzug derselben anzusehen, den eine momentane Fortpflanzung der Gravitation passt sehr wenig zu der modernen Physik. Um die Newtonschen Gleichungen für die neue Mechanik zu erhalten, gehen wir ähnlich vor wie Minkowski in der Elektromagnetik.”
Cf. below § 6.1 for additional details.
Boltzmann had used the term in this context in his 1899 Münich talk that Hilbert had attended. Cf. Boltzmann 1899. 92–96 (and above 61.3.51.
Hilbert 1911–12, 2:“Hier ist das Bestreben, ein Axiomensystem zu schaffen, welches für die ganze Physik gilt, und aus diesem einheitlichen Gesichtspunkt alle Erscheinungen zu erklären. ... Jedenfalls gibt sie unvergleichlich tieferen Aufschluss über Wesen und Zusammenhang der physikalischen Begriffe, ausserdem auch neue Aufklärung über physikalische Tatsachen, welche weit über die bei A) erhaltene hinausgeht.”
Hilbert 1911–12, 2:“Wenn man auf diesem Standpunkt steht, so wird man den früheren nur als einer Notbehelf bezeichnen, der nötig ist als eine erste Stufe der Erkenntnis, über die man aber eilig hinwegschreiten muss, um in die eigentlichen Heiligtümer der theoretischen Physik einzudringen.”
Hilbert 1911–12, 2:“... sich mit etwas verschwommenen mathematischen Formulierungen zufrieden geben muss.”
In fact, in December 1911 Hilbert presented to the GMG an overview of his recent investigations on the theory, stating that he intended to publish them soon. Cf. JDMV 21 (1912), 58.
Cf. Brush 1976, 432–446.
Boltzmann 1872.
Cf. Born 1922, 587–589.
Hilbert 1911–12, 21.
Hilbert 1912, 268; 1912a, 562.
Hilbert 1911–12, 75–76:“Wenn z.B. Boltzmann beweist—übringens auch mit einigen Vernachlässigungen—dass die Maxwellsche Verteilung (die nach dem Exponentialgesetz) unter allen Verteilungen von gegebener Gesamtenergie die wahrscheinlichste ist, so besitzt dieser Satz ja an und für sich ein gewisses Interesse, aber er gestattet auch nicht der geringsten Schluss auf die Geschwindigkeitsverteilung, welche in einem bestimmten Gase wirklich eintritt. Um den Kernpunkt der Frage klar zu legen, will ich an folgendes Beispiel erinnern: In einer Lotterie mit einem Gewinn und von 1000 Losen seien 998 Losen auf 998 Personen verteilt, die zwei übrigen Lose möge eine andere Person erhalten. Dann hat diese Person im Vergleich zu jeder einzelnen andern die grössten Gewinnchancen. Die Wahrscheinlichkeit des Gewinnen ist für sie am grössten, aber es ist immer noch höchst unwahrscheinlich, dass sie gewinnt. Denn die Wahrscheinlichkeit ist so gut wie Null. Ganz ebenso ist die Wahrscheinlichkeit für den Eintritt der Maxwellschen Geschwindigkeitsverteilung zwar grösser als die für das Eintreten einer jeden bestimmten andern, aber doch noch so gut wie Null, und es ist daher fast mit absoluter Gewissheit sicher, dass die Maxwellsche Verteilung nicht eintritt. Was wir für die Gastheorie brauchen, ist sehr viel mehr. Wir wünschen zu beweisen, dass für eine gewisse ausgezeichnete Verteilung eine Wahrscheinlichkeit sehr nahe an 1 besteht, derart, dass sie sich mit Unendliche wachsende Molekülzahl der 1 asymptotisch annähert. Und um das zu erreichen, müssen wir den Begriff der „Geschwindigkeitsverteilung” etwas modifizieren, indem wir einen gewissen Spielraum zulassen. Wir hätten die Frage etwa so zu formulieren: Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass eine Geschwindigkeitsverteilung eintritt, welche von der Maxwellschen nur um höchstens einen bestimmten Betrag abweicht—und weiter: wie gross müssen wir die zugelassenen Abweichungen wählen, damit wir im limes die Wahrscheinlichkeit eins erhalten?”
Hilbert 1911–12, 77:“Ich will Ihnen nun auseinandersetzen, wie ich mir etwa die Behandlung dieser Frage denke. Es sind da sicher noch grosse Schwierigkeiten zu überwinden, aber die Idee nach wird man wohl in folgender Weise vorgehen müssen: ...“
Hecke had also taken the notes of the 1911–12 course.
References to this seminar appear in Lorey 1916, 129. Lorey took this information from the German student’s journal Semesterberichte des Mathematischen Verereins. The exact date of the seminar, however, is not explicitly stated.
Sackur 1912.
See Sackur’s obituary in PZ 16 (1915), 113–115. According to Reid’s account (1970, 129), Ewald succinctly described Hilbert’s scientific program at the time of his arrival in Göttingen with the following, alleged quotation of the latter:“We have reformed mathematics, the next thing to reform is physics, and then well go on to chemistry”. Interest in Sackur’s work, as instantiated in this seminar would be an example of an intended, prospective attack on this field. There are not, however, many documented, further instances of this kind.
And, as was seen above (Ch. 4, note 4), Minkowski and Hilbert even had planned to have a seminar on the theory of heat radiation as early as 1907.
Cf., e.g., Kirchhoff 1860.
Cf. Kuhn 1978, 3–10.
Planck 1899.
Cf. Kuhn 1978, 144–152.
Much later Ehrenfest (1911) dubbed this phenomenon“ultraviolet catastrophe”.
Planck 1900.
This is the main claim developed in detail in the now classical Kuhn 1978. For a more recent, summary account of the rise of quantum theory, see Kragh 1999, Ch. 5.
Lorentz 1909.
Cf. Kuhn 1978, 189–197.
Lorentz 1910, 1248.
Cf. Barkan 1993.
Poincaré 1912a.
Jeans 1914. Cf. Kuhn 1978, 206–232.
Hilbert 1912c, 2:“Nun kommen wir aber zu eigentlicher Physik, welche sich auf der Standpunkt der Atomistik stellt und da kann man sagen, dass keine Zeit günstiger ist und keine mehr dazu herausfordert, die Grundlagen dieser Disziplin zu untersuchen, wie die heutige. Zunächst wegen der Zusammenhänge, die man heute in der Physik entdeckt hat, wovon man sich früher nichts hätte träumen lassen, dass die Optik nur ein Kapitel der Elektrizitätslehre ist, dass Elektrodynamik und Thermodynamik dasselbe sind, dass auch die Energie Trägheit besitzt, dann dass auch in der Chemie (Metalchemie. Radioaktivität) physikalische Methoden in der Vordergrund haben.”
Hilbert 1912c, 2:“... wie die Lehre des Kopernikus, eine durch das Experimente bewiesene Tatsache.”
A hand-written addition to the typescript (Hilbert 1912c, 4) gives here a cross-reference to Hilbert’s later course. Hilbert 1916a. 45–56. where the same tonic is discussed in greater detail.
Hilbert 1912c, 94. He referred to Ehrenfest 1911 and Poincaré 1912a. Hilbert had recently asked Poincaré for a reprint of his article. See Hilbert to Poincaré, May 6, 1912 (HPA 546).
Cf. Hilbert to Sommerfeld, April 5, 1912 (ASN HS 1977–28/A, 141).
Cf. Schirrmacher 2003, 303–312.
Cf. Kuhn 1978, 92–134.
Cf. Schirrmacher 2003, 315–317.
Planck 1906.
See above Ch. 3, note 45.
Born & Ladenburg 1911, 198.
Voigt 1989. Born and Ladenburg also referred to Voigt 1911, which was about to being published and that its author had already shown to them.
Voiat 1912.
He specifically quoted Brotherus 1912.
The published version is Hilbert 1912b, that appeared both in GN and PZ. There is also a manuscript version of the original talk in DHN 586. Cf. Schirrmacher 2003, 309.
Hilbert 1912b, 1057.
Cf. PZ 13 (1912), 342.
Hilbert 1912–13. See below § 5.4.1.
Hilbert to Einstein, March 30, 1912 (CPAE 5, Doc. 378).
Some of the main documents referred to in this and the following sections (cf. especially notes 91, 106, 108, and 109 below) were first brought to light in Schirrmacher 2001. Schirrmacher 2003 also provides a useful account of many important physical aspects of the background to Hilbert’s work in these topics. The reconstruction of events presented here has taken Schirrmacher’s papers as starting point, but it adds further material and follows a different lead in some respects.
Wien 1909.
Ewald to Hilbert, April 11, 1912 (DHN 98, 1). Quoted in Schirrmacher 2003, 319.
The discussion following Hilbert’s presentation is recorded in PZ 13 (1912) 1064.
Cf. the draft of Hilbert’s talk in DHN 586, 15. Quoted in Schirrmacher 2003, 320. Back in 1907, Minkowski had told his students that he intended to show them how mathematical inspiration should arise form the study of this theory. See above Ch. 4, note 4.
Hilbert 1912c, 1057.
As noticed in Schirrmacher 2003, 322.
The ensuing discussion is briefly recorded in PZ 13 (1912), 1064.“Nein, Nein!” Hilbert is quoted as replying to Sommerfeld’s suggestion.
PZ 13 (1912), 1064.
PZ 13 (1912), 1064.
Fortschritte der Physik 12, 347–348.
It is curious to notice, however, that during the discussion following Nernst’s presentation, after Hilbert’s own (Nernst 1912), Hilbert is recorded as having participated with a remark whose direct connection with the talk is somewhat unclear. The topic of the talk (”Energy contents of gases”) touched upon themes related to both kinetic and radiation theory, which must have indeed attracted Hilbert’s attention. However, Nernst dealt mainly with the experimental aspects of his topic and did not make any clear connection to any of Hilbert’s ideas. Likewise, the discussants did not raise any point to which Hilbert seems to have answered, nor did they react to his comments. Rather, they raised completely different, purely physical considerations. At any rate, this is what Hilbert said in the discussion (PZ 13 (1912), 1068):“I have not said that I have proved the equipartition theorem. Rather, I have set down the precise conditions under which it is certainly valid. Now, it turns out that these conditions are very restrictive and therefore the theorem is not mathematically valid even in cases where physicists are still perhaps inclined to assume its validity. The theorem can be mathematically derived, only if one assumes the validity of the old collision laws of mechanics and characterizes the contact of two molecules at the instant of the collision through a single formula. I believe, moreover, that Herr Nernst and myself are in full agreement.”
Wien 1909, 285.
Carathéodory to Hilbert, December 12, 1912 (DHN 55, 4). For additional details, cf. Schirrmacher 2003, 322–324.
Pringsheim 1903.
Pringsheim 1901.
Born to Hilbert, January 7, 1913 (DHN 40A, 4). On Born and Pringsheim, cf. Born 1978, 123.
Hilbert 1913. This installment was published on February 28, 1913. It is not clear when Hilbert submitted this version to the journal.
The added section appears on pp. 16–20 of Hilbert 1913. The reprint appearing in HGA, edited in the early 1930’s, essentially reproduces the JDMV version, but does not include the four pages of the new section.
Hilbert 1912a, 1057:“... ungenügend.”
Hilbert 1913, 2:“... nicht einwandfrei.”
Pringsheim 1913. Submitted on April 17, 1913.
Hilbert 1913a. Submitted on May 8, 1913.
Hilbert 1913a, 594.
Hilbert 1913, 16, footnote 1. The reference was to Pringsheim 1903.
Hilbert 1913, 17.
Hilbert 1913, 18. Presumably he referred to Planck 1906.
This parameter p is an auxiliary one, introduced by Hilbert in his analysis of Axioms I and II
Carathéodory to Hilbert, April 4, 1913 (DHN 55, 5).
Cf. Schirrmacher 2003, 326–328. The Planck-Hilbert correspondence was only recently restored to the Hilbert Nachlass, together with some other important documents. Cf. Sommer 2002. See also below Ch. 7. note 44.
Planck to Hilbert, April 4, 1913 (DHN 308A, 4).
Planck to Hilbert, April 15, 1913 (DHN 308A, 5 — Emphasis in the original). This and the previous letter are also quoted, in a somewhat different translation, in Schirrmacher 326–327.
Pringsheim 1913, 590.
Hilbert’s various axiom systems for radiation theory are reproduced in Appendix 7, to which the reader is referred for further details.
Hilbert 1913a, 594. Emphasis in the original.
Pringsheim 1913a. Submitted on July 26_ 1911
Pringsheim referred to the discussion as documented in PZ 13. 1064_ Cf ahove note 89
Of the JDMV version of the first artile, or Axiom 2 in his second PZ article.
Pringsheim 1913a, 847: “... Herr Hilbert [antwortete] nicht —wie man es hätte erwarten sollen—: “Daß meine Betrachtungen auch für diesen Fall gelten, habe ich als Axiom vorausgesetzt”, sondern er antwortet gänzlich unverständlich: ‘Dieser Punkt is durch meine Methode mit erledigt. Es liegt keine Schwierigkeit darin’.”
Pringsheim 1913a, 848.
Pringsheim 1913a, 849–50.
Hilbert 1914. Presented to the GWG on June 13, 1914.
Behrens 1915. Behrens’s dissertation, completed in 1911, had dealt with applied mechanics and was supervised by Klein.
Axioms A and D (or rather a variant D* of the latter) See Appendiv 7
Born & Ladendurg 1911. See above, note 69.
Cf. HGA Vol. 3, 433. Two of the dissertations were published as Baule 1914 and Schellenberg 1915.
Cf. for instance: Bolza, Born & van Kármán 1913; Hecke 1918; Hecke 1922.
Cf. Mehra 1973, 178.
Cf. Brush 1976, 449–468; Chapman & Cowling 1970.
Ehrenfest 1959 [ 1912].
Cf. Klein 1970, 81–83.
Cf. Born 1922, 592–593.
The printed version of the Verzeichnis der Vorlesungen auf der Georg-August-Universität zu Göttingen registers several courses for which no notes or similar documents are extant, and about which I can say nothing here: SS 1912 - Mathematical Foundations of Physics; WS 1912–13 - Mathematical Foundations of Physics.
Hilbert 1912–13. A second copy of the typed notes in found in MBN #1817.
Hilbert 1912–13, 1:“Das Ziel der Vorlesung ist es, die Molekulartheorie der Materie nach dem heutigen Stande unseres Wissens zu entwickeln. Diese Theorie betrachtet die physikalischen Körper und ihre Veränderungen unter dem Scheinbilde eines Systems ungeheuer vieler im Raum bewegter Massen, die durch die Stösse oder durch andere zwischen ihnen wirkenden Kräfte einander beeinflussen.”
Hilbert 1912–13, 1:“Dabei werden wir aber streng axiomatisch die Stellen, in denen die Physik in die mathematische Deduktion eingreift, deutlich hervorheben, und das voneinander trennen, was erstens als logisch willkürliche Definition oder Annahme der Erfahrung entnommen wird, zweitens das, was a priori sich aus diesen Annahmen folgern liesse, aber wegen mathematischer Schwierigkeiten zur Zeit noch nicht sicher gefolgert werden kann, und dritten, das, was bewiesene mathematische Folgerung ist.”
Hilbert 1912–13, 50:“Wir haben bisher das Probleme handelt, die Beziehung zwischen p, y, und 9 an einem chemisch völlig homogenen Körper zu ermittleln. Unser Ziel war dabei, diese Beziehung nach den Gesetzen der Mechanik aus der Vorstellung abzuleiten, dass der Körper ein mechanisches System seiner Molekele ist. In dem bisher behandelten, besonders einfache Falle, in dem wir es mit einer einzigen Molekel zu tun hatten, liess sich dies Ziel mit einer gewissen Vollständigkeit erreichen. Eine in einem bestimmten Temperaturintervall mit der Erfahrung übereinstimmende Zustandsgleichung geht nämlich aus der Kinetischen Betrachtung hervor. Mit der Kenntnis der Zustandsgleichung und der Kondensationserscheinungen ist aber nur ein sehr kleiner Teil, der sich empirisch darbietenden Eigenschaften der Stoffe erledigt. Wir werden daher in diesem zweiten Teile diejenigen Ergebnisse der Physik und Chemie zusammenstellen, deren kinetische Deutung wir uns später zur Aufgabe machen wollen.”
Hilbert 1912–13, 50:“Die reinen Erfahrungstatsachen werden dabei in mathematischer Sprache erscheinen und als Axiome auftreten, die hier keiner weiteren Begründung bedürfen. Aus diesen Axiomen werden wir soviel als möglich, rein mathematische Folgerungen ziehen, und dabei untersuchen, welche unter den Axiomen voneninader unabhängig sind und welche zum Teil auseinander abgeleitet werden können. Wir werden also den axiomatischen Standpunkt, der in der modernen Mathematik schon zur Geltung gebracht ist, auf die Physik anwenden.”
Hilbert 1912–13, 60:“Um im einzelnen Falle die charakteristische Funktion in ihrere Abhängigkeit von der eigentlichen Veränderlichen und den Massen der unabhängigen Bestandteile zu ermitteln, müssen verschiedenen neue Axiome hinzugezogen werden.”
Hilbert 1912–13, 60:“Im Gleichgewicht verteilen sich die Massen der unabhängigen Bestandteile so auf die einzelnen Verbindungen und Phasen, dass die charakteristische Funktion, die den Bedingungen des Systems entspricht, ein Minimum wird.”
Hilbert 1912–13, 61:“Es muss kinetischen Betrachtung überlassen bleiben, es aus den Prinzipien der Mechanik abzuleiten und wir werden im dritten Teil der Vorlesung die erste Ansätze an solchen kinetischen Theorie kennen lernen.”
Hilbert 1912–13, 66:“Die drei gegebenen Axiome reichen also hin, um das thermodynamische Potential der Mischung zu berechnen. Aber sind nicht in vollem Umfange dazu Notwendig. Nimmt man z.B. das dritte Axiom für eine bestimmte Temperatur gültig an, so folgt es für jede beliebige Temperatur aus den beiden ersten Axiomen. Ebensowenig ist das erste und zweite Axiom vollständig voneinander unabhängig.”
Hilbert 1912–13, 80:“Die axiomatische Reduktion der vorstehenden Sätze auf ihre unabhängigen Bestandteile ist demnach noch nicht vollständig durchgeführt, und es finden sich auch in der Literatur hierüber verschiedene Ungenauigkeiten. Was den eigentlichen Kern solcher Missverständnisse anlangt, so glaube ich, dass er tiefer liegt. Die Grundbegriffe scheinen mir selbst in den besten Lehrbüchern nicht genügend klar dargestellt zu sein, ja, in einem gleich zu erörternden Punkte geht die nicht ganz einwandfreie Anwendung der thermodynamischen Grundbegriffe sogar auch Helmholtz zurück.”
Hilbert 1912–13, 88:“Um die empirisch gegebenen und zu mathematischen Formeln verallgemeinerten Ergebnisse des vorigen Teiles a priori und zwar auf rein mechanischem Wege abzuleiten, greifen wir wieder auf des Grundprinzip des statistischen Mechanik zurück, von der wir bereits im ersten Teil ausgegangen waren.”
Hilbert 1912–13, 88:“Auf die Kritik dieses Grundprinzipes und die Grenzen, die seiner Anwendbarkeit gesteckt sind, können wir hier nicht eingehen. Wir betrachten vielmehr unser Ziel als erreicht, wenn die Ergebnisse, die abzuleiten wir uns zur Aufgabe stellen, auf die Sätze der Mechanik und auf jenes Prinzip zurückgeführt sind.”
JDMV 22 (1913), 27.
In January 1913, Hilbert had lectured on Nernst’s law of heat at the Göttingen Physical Society (DHN 590). See also a remark added in Hilbert’s handwriting in Hilbert 1905, 167. See above § 3.3.8.
Cf. Hilbert to Einstein, October 3, 1912 (CPAE 5, Doc. 1912).
PZ 14 (1913), 258–264. Cf. also Born 1913.
JDMV 22 (1913). 53–68. which includes abstract of all the lectures. Cf. also .IDMV 23 (19141. 41.
Planck et al. 1914.
Hilbert 1913b, 1:“Alle physikalischen Vorgänge, die wir einer axiomatischen Behandlung zugängig machen wollen, suchen wir auf Bewegungsvorgänge an Punktsystem in Zeit und Raum zu reduzieren.”
Hilbert 1913b, 13:“Die Elektronentheorie würde daher von diesem Gesichtpunkt aus das Fundament der gesamten Physik sein.”
Hilbert 1913b, 14 (Emphasis in the original):“Unser nächstes Ziel ist, eine Erklärung der Elektrizitätsleitung in Metallen zu gewinnen. Zu diesem Zwecke machen wir uns von der Elektronen zunächst folgendes der Gastheorie entnommene mechanische Bild, das wir später durch ein elektrodynamisches ersetzen werden.”
Hilbert 1913, 13b:“Die wichtigsten Begriffe sind die der Kraft und der Starrheit. Die Elektronentheorie würde daher von diesem Gesichtspunkt aus das Fundament der gesamten Physik sein. Den Versuch ihres systematischen Aufbaues verschieben wir jedoch auf später; er hätte von der Bewegung eines, zweier Elektronen u.s.w. auszugehen, und ihm stellen sich bedeutende Schwierigkeiten in der Weg, da schon die entsprechenden Probleme der Newtonschen Mechanik für mehr als zwei Körper ungelöst sind.”
Hilbert 1913b, 14 (Emphasis in the original):“In der bisherigen Theoire der Elektrizitätsleitung in Metallen haben wir nur den Elektrizitätstransport, der durch die Bewegung der Elektronen selbst bedingt wird, in Betracht gezogen; unter der Annahme, dass die Elektronen erstens dem Kraftgesetz K=mb gehorchen und zweitens dasselbe Stossgesetz wie vollkommen harten elastischen Kugeln befolgen (wie in der Gastheorie).”
Hilbert 1913b, 14:“Auf die elektrischen und magnetische Wirkung der Elektronen aufeinander und auf die Atome sind wir dabei nicht genauer eingegangen, vielmehr haben wir angenommen, dass die gegenseitige Beeinflussung durch das Stossgesetz in erster Annäherung hinreichend genau dargestellt würde.”
Hilbert 1913b, 14 (Emphasis in the original):“Wollte man die Wirkung der Elektronenbewegung genauer verfolgen jedoch immer noch unter Beibehaltung des der Gastheorie entlehnten Bildes stossender Kugeln—so müsste man das umgebende Feld der Elektronen und die Strahlung in Rechnung stezen, die sie bei jedem Zusammenstoss aussenden. Man wird daher naturgemäss darauf geführt, den Einfluss der Elektronenbewegung auf die Energieverteilung im freien aether zu untersuchen. Ich gehe daher dazu über, die Strahlungstheorie, die wir früher vom phänomenologischen Standpunkt aus kennen gelernt haben (SS 1912), aus dem Mechanismus der Elektronenbewegung verständlich zu machen. Eine diesbezügliche Theorie hat H.A. Lorentz aufgestellt.”
Hilbert 1913b, 61–62 (Emphasis in the original):“Auf die Maxwellschen Gleichungen und den Energiebegriff allein kann man die Elektrodynamik nicht gründen. Es muss noch der Begriff der Starrheit hinzukommen; die Elektrizität muss an ein festes Gerüst angeheftet sein. Dies Gerüst bezeichnen wir als Elektron. In ihm ist der Begriff der starrer Verbindung der Hertzschen Mechanik verwirklicht. Aus den Maxwellschen Gleichungen, dem Energiebegriff und dem Starrheitsbegriff lassen sich, im Prinzip wenigstens, die vollständigen Sätze der Mechanik entnehmen, auf sie lassen sich die gesamten Kräfte der Physik, im Besonderen die Molekularkräfte zurückzuführen. Nur die Gravitation hat sich bisher dem Versuch einer elektrodynamischen Erklärung widersetzt.”
Hilbert 1913b, 65:“Es sind somit die zum Aufbau der Physik unentbehrlichen starren Körper nur in den kleinsten Teilen möglich; man könnte sagen: das Relativitätsprinzip ergibt also als notwendige Folge die Atomistik.”
The lecture notes of this course, Hilbert 1913c, are not found in the Göttingen collections. Peter Damerow kindly allowed me to consult the copy of the handwritten notes in his possession. The notes do not specify who wrote them. In DHN 520, 5, Hilbert wrote that notes of the course were taken by Bernhard Baule.
Hilbert 1913c, 1:“Die axiomatische Methode besteht darin, daß man ein Gebiet herausgreift und bestimmte Tatsachen an die Spitze stellt u. nun den Beweis dieser Tatsachen sich nicht weiter besorgt. Das Musterbeispiel hierfür ist die Geometrie.”
Again, Hilbert is not referring here to the model-theoretical notion of completeness. See above 2.2.1.
Hilbert 1913c, 5:“Die axiomatische Methode is nicht neu, sondern in der menschlichen Denkweise tief begründet.”
Hilbert 1913c, 91:“Logisch wäre es natürlich auch möglich andere Def. zu Grunde zu liegen und so eine ‘Nicht-Newtonsche Mechanik’ zu begründen.” An elaborate formulation of a non-Newtonian mechanics had been advanced in 1909 by Gilbert N. Lewis (1875–1946) and Richard C. Tolman (1881–1948), in the framework of an attempt to develop relativistic mechanics independently of electromagnetic theory (Lewis and Tolman 1909). Hilbert did not give here a direct reference to that work but it is likely that he was aware of it, perhaps through the mediation of one of his younger colleagues.
The following bibliographical list appears in the first page of this section (Hilbert 1913c, 119): M. Laue Das Relativitätsprinzip 205 S. M. Planck 8 Vorlesungen über theoretische Physik 8. Vorlesung p. 110–127 A. Brill Das Relativitätsprinzip: ein Einführung in die Theorie 28 S. H. Minkowski Raum und Zeit XIV Seiten Beyond this list, together with the manuscript of the course, in the same binding, we find some additions, namely, (1) a manuscript version of Minkowski’s famous work (83 pages in the same handwriting as the course itself), (2) the usual preface of A. Gutzmer, appearing as an appendix, and (3) two pages containing a passage copied form Planck’s Vorlesungen. where the remaining terms are of higher orders.
Hilbert 1913c, 128–129 (Emphasis in the original):“Es zeigt sich also, daß unsere Folgerung der alten Auffassung, daß die Lichtgeschwindigkeit im bewegtem System nach verschiedenen Richtungen verschieden ist, auf Widerspruch führt. Wir nehmen deshalb an: Auch im bewegtem System ist die Lichtgeschwindigkeit nach allem Seiten gleich groß, und zwar gleich der im ruhenden. Das bewegte System hat vor dem alten nicht voraus.”
Hilbert 1913c, 132:“Eine größen Geschwindigkeit als die Lichtgeschwindigkeit kann nicht vorkommen.”
Hilbert 1913–14, 1:“Seit Alters her ist die Geometrie eine Teildisziplin der Mathematik; die experimentelle Grundlagen, die sie benutzen muss, sind so naheliegend und allgemein anerkannt, dass sie von vornherein und unmittelbar als theoretische Wissenschaft auftrat. Nun glaube ich aber, dass es der höchste Ruhm einer jeden Wissenschaft ist, von der Mathematik assimiliert zu werden, und dass auch die theoretische Physik jetzt im Begriff steht, sich diesen Ruhm zu erwerben. In erster Linie gilt dies von der Relativitätsmechanik oder vierdimensionalen Elektrodynamik, von deren Zuhörigkeit zur Mathematik ich seit lancem überzeugt bin.”
Hilbert 1913–14„ 1:“Es scheint indessen, als ob die theoretische Physik schliesslich ganz und gar in der Elektrodynamik aufgeht, insofern jede einzele noch so spezielle Frage in letzter Instanz an die Elektrodynamik appellieren muss. Nach den Methoden, die die einzelnen mathematischen Disziplinen vorwiegend benutzen, könnte man alsdann - mehr inthaltlich als formel - die Mathematik einteilen in die eindimensionale Mathematik, die Arithmetik, ferner in die Funktionentheorie, die sich im wesentlichen auf zwei Dimensionen beschränkt, in die Geometrie, und schliesslich in die vierdimensionale Mechanik.”
Hilbert 1913–14„ 2:“So wenig man schon mit dem n-Körperproblem arbeiten kann, so wäre es noch fruchtloser, auf die Behandlung des n-Elektronenproblemes einzugehen. Es handelt sich vielmehr für uns darum, das n-Elektronenproblem zu verstümmeln, die vereinfachte Gleichungen zu integrieren und von ihren Lösungen durch Korrekturen zu allgemeineren Lösungen aufzusteigen. Die gewöhnliche Mechanik liefert uns hierfür ein ausgezeichnetes Vorbild in der Theorie der kleinen Schwingungen; die Vereinfachung des n-Körperproblems besteht dabei darin, dass die Körper sich nur wenig aus festen Ruhelagen entfernen dürfen. In der Elektrodynamik gibt es ein entsprechendes Problem, und zwar würde ich die Theorie der Dispersion als das dem Problem der kleinen Schwingungen analoge Problem ansprechen.”
Hilbert 1913–14, 87–88:“Von der Verwirklichung unseres leitenden Gedankens, alle physikalischen Vorgänge auf das n-Elektronenproblem zurückzuführen, sind wir freilich noch sehr weit entfernt. An Stelle einer mathematischen Begründung aus den Bewegungsgleichungen der Elektronen müssen vielmehr noch teils willkürliche Annahmen treten, teils vorläufige Hypothesen, die später einmal begründet werden dürften, teils aber auch Annahmen ganz prinzipieller Natur, die sicher später modifiziert werden müssen. Dieser Übelstand wird noch auf lange Zeit hinaus unvermeidlich sein. Unsere Darstellung soll sich aber gerade dadurch auszeichnen, dass die wirklich nötigen Annahmen alle ausdrücklich aufgeführt und nicht mit ihren Folgerungen vermischt werden.”
Hilbert 1913–14, 89 (Italics in the original):“Diese Gleichungen gelten sowohl innerhalb wie auserhalb des Körpers. Im innern des Körpers werden aber die Vektoren E und M sich räumlich und zeitlich sehr stark ändern, da die Dichte der Elektrizität immer nur innerhalb der Elektronenkugeln von Null verschieden ist und diese Kugeln rasche Schwingungen ausführen. Es würde uns auch nicht helfen,wenn wir innerhalb des Körpers die genauen Werte der Feldvektoren kennen würden; denn zur Beobachtung gelangen doch nur Mittelwerte.”
Hilbert 1913–14, 90:“Wir machen nur eine Reihe von Annahmen, die zu den prinzipiellen gehören und später wohl durch weniger willkürlich scheinende ersetzt werden können.”
LeSage’s corpuscular theory of gravitation, originally formulated in 1784, was reconsidered in the late nineteenth century by J.J. Thomson. On the Le Sage-Thomson theory see North 1965, 38–40; Roseaveare 1982, 108–112. For more recent discussions, cf. also Edwards (ed.) 2002.
Hilbert 1913–14, 107–108:“Das Problem, das zunächst die Betrachtung diffuser Elektronenschwingungen anregte, war die Erklärung der Gravitation. In der Tat muss es ja nach unserem leitenden Gesichtspunkte höchst wünschenswert erscheinen, die Gravitation allein aus der Annahme eines elektromagnetischen Feldes sowie er Maxwellschen Gleichungen und gewisser einfacher Zusatzhypothesen, wie z.B. die Existenz starrer Körper eine ist, zu erklären. Der Gedanke, den Grund für die Erscheinung der Gravitation in einer diffusen Strahlung von gewisser Wellelänge zu suchen, ähnelt entfernt einer Theorie von Le Sage, nach der unzählige kleine Partikel such mit grosser Geschwindigkeit im Raume bewegen sollen und durch ihren Anprall gegen die ponderablen Körper die Schwere hervorbringen. Wie in dieser theorie ein Druck durch bewegte Partikel auf die Körper ausgeübt wird, hat man jetzt den modernen Versuch unternommen, den Strahlungsdruck für die Erklärung der Gravitation dienstbar zu machen.”
Lorentz 1900. On this theory, see McCormmach 1970, 476–477.
Madelung 1912.
Hilbert 1913–14, 108:“Die mathematischen Ergebnisse dieser Arbeit sind von grossem Interesse, auch wenn sich die Folgerungen nicht sämtlich bewähren sollten. Es ergibt sich nämlich allein aus den Maxwellschen Gleichungen und einfachen Zusatzhypothese eine ganz bestimmte Attraktionskraft, die als Funktion der Entfernung neriodisch nositiv und negativ wird“
Einstein &Hopf 1910: Einstein & Stern 1913.
The WS 1914–15 course is registered in the printed version of the Verzeichnis der Vorlesungen auf der Georg-August-Universität zu Göttingen (1914–15, on p. 17) but no notes seem to be extant.
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Corry, L. (2004). From Mechanical to Electromagnetic Reductionism: 1910–1914. In: David Hilbert and the Axiomatization of Physics (1898–1918). Archimedes, vol 10. Springer, Dordrecht. https://doi.org/10.1007/978-1-4020-2778-9_6
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