Abstract
The publication of the Discorsi e dimostrazioni matematiche sopra due nuove scienze in 1638, which is one of Galileo’s greatest accomplishments, marks a milestone in the establishment of the new scientific thinking of the seventeenth century. In the succeeding years, the Discorsi was to be read, commented and sometimes criticized by scholars of almost every European country. The theory of motion, which was perhaps the most important of the two new sciences, was extensively studied and improved upon, in such a way as to clear the way for Newton’s kinematics.
I wish to thank C.R. Palmerino for her assistance and her comments, which improved the style and contents of this paper.
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References
“Ponatur igitur, augeri vel imminui motus velocitatem secundum proportionem qua augentur vel minuuntur gravitatis momenta; et cum constet, eiusdem mobilis momenta gravitatis super plano db ad momenta super plano da esse ut longitudo da ad longitudinem db, idcirco velocitatem per db ad velocitatem per da esse ut ad ad db,” Galilei, Le Opere [Favaro], vIIII, p. 379, translation mine.
“Supponimus hic cum ipso Galileo, velocitates in diversis planorum inclinationibus, esse ita ut sunt momenta quando eadem fuerit moles,” Torricelli, De motu gravium naturaliter descendentium, in Torricelli, Opere [Loria & Vassura], II, p. 1o8, translation mine.
“ [ Postulatum] 2. Ut est momentum ad momentum solidi gravis, ita velocitas ad velocitatem;’ Baliani, De motu naturali [Baroncelli], p. 267, translation mine.
Giusti, “Aspetti matematici., See also Giusti, Galilei, pp. IX—LXIII
Souffrin, “Le concept”; “Sur le concept de vitesse:’
“Mirandum. Numquid motus per perpendiculum AD velocior sit quam per inclinationem AB? Videtur esse; nam aequalia spatia citius conficiuntur per AD quam per AB: attamen videtur etiam non esse; nam, ducta orizontali Bc, tempus per AB ad tempus per AC est ut AB ad AC [ ... ] est enim una eademque velocitas illa quae, temporibus inaequalibus, spacia transit inaequalia, eandem quam tempora rationem habentia,” Galilei, Le Opere [Favaro], vIII, p. 375, translation mine.
Galilei, Dialogue [Drake], p. 26.
Ibid., p. 27.
Galilei, Two New Sciences [Drake], p. 178.
“Sit gd erecta ad orizontem, df vero inclinata: dico, eodem tempore fieri motum ex g in d et ex f in d. Momentum enim super fd est idem ac super contingente in e, quae ipsi fd esset parallela; ergo momentum super fd ad totale momentum erit ut ca ad ab, idest ae: verum ut ca ad ae, ita id ad da et dupla fd ad duplam dg; ergo momentum super fd ad totale momentum, scilicet per gd, est ut fd ad gd: ergo eodem tempore fiet motus per fd et gd;, Galilei, Le Opere [Favaro], vIIII, p. 378, translation mine. In the translation, I have changed the letters of Galileo’s text and figure.
Galilei, Two New Sciences [Drake], p. 179.
Ibid., p. 150.
Of course, the same assumption lies behind the other proof, even if it is not explicitely stated.
Galilei, Dialogue [Drake], p. 229.
“In oltre, perché la velocità con la quale il mobile è venuto da a in d è composta di tutti i gradi di velocità auti in tutti i punti della linea ad, e la velocità con che ha passata la linea ac è composta di tutti i gradi di velocità che ha auti in tutti i punti della linea ac, adunque la velocità con che ha passata la linea ad, alla velocità con che ha passata la linea ac, ha quella proporzione che hanno tutte le linee parallele tirate da tutti i punti della linea ad sino alla ah, a tutte le parallele tirate da tutti i punti della linea ac sino alla ag; e questa proporzione è quella che ha il triangolo adh al triangolo acg, ciô è il quadrato ad al quadrato ac;’ Galilei, Le Opere [Favaro], vIII, p. 373, translation mine.
“E perché la velocità alla velocità ha contraria proporzione di quella che ha il tempo al tempo (imperô che il medesimo è crescere la velocità che sciemare il tempo), adunque il tempo del moto in ad al tempo del moto in ac ha subduplicata proporzione di quella che ha la distanza ad alla distanza ac. Le distanze dunque dal principio del moto sono come i quadrati de i tempi,” ibid., pp. 373–374.
Ibid., vol. xIII, p. 312.
“ma con qual proporzione cresce la velocità nel mobile, crescono anche li spazi decorsi dallo stesso mobile, come è ragionevole; chi acquista velocità altrettanta quanta si trovava avere, guadagna ancora forza di trapassare altrettanto spazio quanto faceva, e cosi nell’altre proporzioni; adunque gli spazi percorsi dal mobile [ ... ] saranno come i quadrati dei semidiametri dei cerchi [ ... ] , cioè come i quadrati dei tempi,” Cavalieri, Lo specchio ustorio [Giusti] , p. 132, translation mine.
On Casati’s method see Blay e.a., “Mouvement.”
“Suppone N., che il grave cadendo si mova con tal proporzione, che nel primo tempo trascorra uno spazio, nel secondo tempo uguale al primo trascorra tre spazi, eguali al primo, nel terzo ne trascorra cinque, [ ... ] e cost crescendo sempre secondo i numeri dispari con eguale proporzione Aritmetica. N’ho cercata la dimostrazione qual è questa, che l’invio;’ G.P. Casati to G.A. Rocca, 9 January 1638. In Lettere d’uomini illustri, pp. 81–92, here at p. 83, translation mine.
Galilei, Dialogue [Drake], pp. 221–222.
“La ragione di questa proposizione dice essere L.N. perché se noi non supponessimo, che il mobile passasse continuamente per questi gradi tutti, non si potrebbe assegnare ragione alcuna, per la quale il mobile partendosi dalla quiete, debba più tosto acquistare un tal grado di velocità, ch’uno inferiore, ovvero superiore adunque,” Lettere d’uomini illustri, p. 84, translation mine.
Galilei, Dialogue [Drake], p. 20.
“Proposizione III. Il spazio passato dal mobile in un tempo, al spazio passato dal mobile nell’istesso egual tempo, havrà la medesima proporzione, che la celerità del mobile nel primo, alla velocità del mobile nel secondo tempo. Questa proposizione appare vera dalla sola spiegazione de’ termini. Poiché se diciamo, che la velocità d’un mobile sia doppia della velocità d’un altro, è l’istesso che dire, che un mobile passerà nell’istesso egual tempo doppio spazio di quello che passerà il secondo mobile nell’istesso, o egual tempo, e dalla proporzione de’ spazi passati in tempi eguali, ci si manifesta la proporzione delle velocità tra di loro,” Lettere d’uomini illustri, p. 87, translation mine.
“E cosi l’infinita velocità, c’ha nel primo quarto di tempo, alle infinite velocità, c’ha nel secondo quarto, avranno la proporzione, che l’infinite parallele da tirarsi nel triangolo VAC, alle infinite parallele da tirarsi nel trapezio VD [ ... ] che [ ... ] sono come il triangolo VAC, al trapezio VD, come dimostra il P. Cavalieri, Lib. 2 della Geometria, propos. 3;’ ibid., p. 91, translation mine.
Baliani, De motu naturali [Baroncelli], quoted at fn. 3.
See the letter written by Baliani to Galileo, 17 June 1615, in Galilei, Le Opere [Favaro], xII, p. 186.
“Quoniam est ut AC ad AB, ita momentum in AB, ad momentum in AC; et ut momentum in AB ad momentum in AC, ita velocitas in AB ad velocitatem in AC; ergo est etiam ut AC ad AB, ita velocitas in AB ad velocitatem in AC,” Baliani, De motu naturali [Baroncelli], p. 276, translation mine.
“Sit triangulum ABC, in quo AC quadrupla ad AB, et BD perpendicularis. Erit per i1 velocitas in AB quadrupla velocitatis in AC. Sit AE aequalis AD, et ponatur motum per AE absolvi in 1’; motus per AD absolvetur 4’, ex quo probe infertur, quod tempora per AD, AB non sunt aequalia;’ Lettere d’uomini illustri, pp. 140–141.
“Hoc non sequitur in motu accelerato: nam si motus per AE absolvitur in 1’, seu 60, motus per AD non absolvetur in 4’, sed in 2’ tantummodo, seu in 120. Quod ut probetur ponemus in quadrante temporis quo mobile movetur per AE, puta in prioribus 15, confici longitudinis BE partes 4, quarum tota AE continet 64. In sequentibus secundis 15 conficiet earundem partium partes 12, in tertiis 15 partes 20, in quartis demum et postremis 15 conficiet partes 28, quae simul sumptae sunt partes 64, unde in tempore unius minuti primi juxta suppositionem conficit totum spatium AE, quod divisum fuit in partes 64. Modo ut videamus quo tempore absolvat easdem 64 partes praedictis aequales, in quibus pariter intelligatur secta AD, cum sint AE, AD aequales; eas dico confici non in 4’, sed in duobus tantum. Nam cum ibi velocitas ex suppositione sit subquadrupla velocitati in AE, in prioribus 15 conficitur pars una tantum, in sequentibus 3, in tertiis 5, et ita deinceps juxta proportionem numerorum imparium, unde in 120, puta 2’ solummodo conficiuntur omnes praedictae 64 partes, et proinde spatium AD,” ibid., pp. 141–142, translation mine.
In a letter dated 25 July 1640, Antonio Santini writes to Rocca that Ciampoli has some speculations on motion that are better and easier than Galileo’s. Given Ciampoli’s duties, it is quite probable that Santini is referring to Torricelli’s writings. See ibid., pp. 191–192.
Galilei, Le Opere [Favaro], xvIII, p. 303.
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Giusti, E. (2004). A Master and His pupils: Theories of Motion in the Galilean School. In: Palmerino, C.R., Thijssen, J.M.M.H. (eds) The Reception of the Galilean Science of Motion in Seventeenth-Century Europe. Boston Studies in the Philosophy of Science, vol 239. Springer, Dordrecht. https://doi.org/10.1007/978-1-4020-2455-9_7
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