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Mathematization of the Science of Motion at the Turn of the Seventeenth and Eighteenth Centuries: Pierre Varignon

  • Michel Blay
Part of the Boston Studies in the Philosophy of Science book series (BSPS, volume 239)

Abstract

During the first decade of the eighteenth century, Pierre Varignon wrote many papers devoted to the science of motion, in which he used the new methods of differential and integral calculus.1 These writings, inserted in the volumes published by the Parisian Académie Royale des Sciences,2 deal primarily with questions that Newton had already tackled some years earlier in his famous Philosophiae naturalis principia mathematica.3 However, irrespective of whether he was concerned with questions pertaining to the expression of central forces (Principia, Book I) or with the study of projectile motion in resisting mediums (Principia, Book II), Varignon always emphasized, in the first paper on each of his investigations, the specificity of his procedure and the novelty of his approach, which allowed general results to be obtained from which Newton’s examples could be deduced as particular cases.

Keywords

Central Force Uniform Motion Rectilinear Motion Curvilinear Trajectory Rectilinear Trajectory 
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References

  1. 1.
    See the “Liste des OEuvres de Pierre Varignon;’ Bernoulli, Der Briefwechsel, II-1, pp. 387–408.Google Scholar
  2. 2.
    AM, 1699 (1702).Google Scholar
  3. 3.
    Explicit references to Newton’s Principia appear quite early in Varignon’s writings. See his letters to Johann I. Bernoulli, dated 24 May and 12 July 1699, Bernoulli, Der Briefwechsel, II-1, pp. 96 and 229.Google Scholar
  4. 4.
    “Il en résulte aussi une formule très simple des forces centrales, tant centrifuges que centripètes, lesquelles sont le principal fondement de l’excellent ouvrage de M. Newton De Phil. Natur. Princ. Math. [ ... ] me contentant de faire voir ici avec quelle facilité elle expédie les exemples que voici, dont la plupart sont de M. Newton sçavoir ceux des prop. 7, 8, 9, 10 de son premier livre;, Am, 1700 (1703), p. 84.Google Scholar
  5. 5.
    “Monsieur Newton dans le livre qu’il nous a donné De Principiis Math. Philos. natur. Livre 2. Sect. 1.2 et 3. M. Leibnitz dans les Actes de Leipsik de 1689, pag. 39 etc., M. Hugens dans son Discours de la cause de la pesanteur pag. 168 etc. [ ... ] et M. Wallis dans ses CEuvres Mathématiques. Tom. 2 chap. 1o1, pag. 438. etc., ont traité fort doctement de la résistance du milieu au mouvement des corps. Voici ce qui m’est aussi venu en pensée sur cette matière, le tout compris en une Proposition générale, d’où résulte en plusieurs manières, non seulement tout ce que ces quatre grands Géomètres ont conclu de leurs hypothèses; mais encore ce qui suit de plusieurs autres faites à volonté: tout cela paroîtra dans les Problèmes suivans, et dans leurs Corollaires;’ AM, 1707 (1708), p. 382.Google Scholar
  6. 6.
    On this issue, see, in particular, Blay, “Deux moments.”Google Scholar
  7. 7.
    I have edited these Memoirs in Blay, “Quatre mémoires.” For an indepth study of these matters, see Blay, La naissance. Google Scholar
  8. 8.
    A.Ac.Sc. Registres, xvII, fol. 298v-305r.Google Scholar
  9. 9.
    “M. Varignon n’a pas laissé de traiter des mouvemens variés comme les uniformes, & de tirer des uns les mêmes conséquences que des autres,” AH, 1700 (1703), p. 85.Google Scholar
  10. 10.
    The term “variable” belongs to the language of the period. See de l’Hospital, Analyse, “Définition I.“Google Scholar
  11. 11.
    \(tous les angles rectilignes de la figure qu’on voit icy, etant droits) soient AB = x les espaces parcourus en quelque sens qu’on voudra, BE = z les temps employez à les parcourir, et BC = y = DF les vitesses à chaque point B de ces espaces,” A.Ac.Sc. Registres, xvII, fol. 298v°.Google Scholar
  12. 12.
    Recall that in modern terms, which use the concept of function (x representing space, t time, and v velocity), motion is defined by its temporal equation x = f (t). Analysis of this function will give the behavior of the point on the trajectory. The graph of the function a: f(t) is called the diagram of accelerations. Varignon also introduces, in current terminology, the function v = g (x), whose graph we call the first diagram of velocities (the second being that of v: f’(t)).Google Scholar
  13. 13.
    “[...] la courbe EE (quelle qu’elle soit) formée par tous les points E, exprime les espaces par ses abscisses AB, et les temps employez à les parcourir, par ses ordonnées correspondantes BE; la courbe cc (quelle qu’elle soit aussi) formée par tous les points c, exprime de même les espaces par les abscisses AB, et les vitesses à chaque point B de ces espaces, par ses ordonnées correspondantes Bc; enfin la courbe FF (quelle qu’elle soit encore) exprime aussi par ses ordonnées DF ces mêmes vitesses comparées aux temps BE ou AD qui leur servent d’abscisses;’ A.Ac.Sc. Registres, xvII, fol. 298v0.Google Scholar
  14. 14.
    Here Varignon does not explicitly define the concept of instant. However, in his Traité du mouvement et de la mesure des eaux coulantes et jaillissantes, published posthumously in Paris in 1725, one reads: “Définition v. Un instant est pris d’ici pour la plus petite portion de temps possible, et par conséquent doit être regardé comme un point indivisible d’une durée quelconque;’ Varignon, Traité des mouvements, p. 3. In a Memoir dated 6 July, 1607 and entitled Des mouvemens variés d volonté, comparés entr’eux et avec les uniformes, the definition appears in a slightly different mathematical setting: ”Définition I. Par le mot d’instant, nous entendons ici une particule de tems infiniment petites, c’est-à-dire, moindre que quelques grandeur assignable de tems infiniment petite, c’est-à-dire, moindre que quelque grandeur assignable de tems que ce soit: c’est ce qu’en langage des Anciens l’on appelleroit minor quavis quantitate data. [...],“AM, 1707 (1708), p. 222.Google Scholar
  15. 15.
    “Cela posé, les instans seront = dz; l’espace parcouru dans chaque instant, sera = dx; et la vitesse avec laquelle dx aura été parcourue sera = y;’ A.Ac.Sc. Registres, xvII, fol. 298v°.Google Scholar
  16. 16.
    “De sorte que cette vitesse (y), dans chaque instant pouvant être regardée comme uniforme, a cause que y ± dy = y, la notion seule des vitesses uniformes donnera y = dz pour le regle de tous les mouvemens variés comme on voudra, c’est à dire quelque rapport d’espace, de temps, ou de vitesse, qu’on suppose; la vitesse de chaque instant etant toujours et par tout egale au quotient de l’espace parcouru dans chaque instant divisé par cette même differentielle de temps;’ A. Ac.Sc. Registres, xvII, fol. 298v°-299r°Google Scholar
  17. 17.
    “l’espace et le temps etant des grandeurs heterogenes, ce n’est point proprement elles qu’on compare ensemble dans le rapport qu’on appelle vitesse, mais seulement les grandeurs homogenes qui les expriment, lesquelles sont ici, et seront toujours dans la suite, ou deux lignes, ou deux nombres, ou deux telles autre grandeurs homogenes qu’on voudra;’ A.M., 1707 (1708), p. 223.Google Scholar
  18. 18.
    I will use either the expression “Leibnizian calculus” or “calculus of differences” rather than “differential calculus;“ which could imply too modern an approach. In de l’Hospital, Analyse (p.1), one reads: “Définition II. La portion infiniment petite dont une quantité variable augmente ou diminue continuellement, en est appelée la différence?’ Google Scholar
  19. 19.
    “I. Demande ou Supposition. 2. On demande qu’on puisse prendre indifféremment l’une pour l’autre deux quantités qui ne diffèrent entre elles que d’une quantité infiniment petite: ou (ce qui est la même chose) qu’une quantité qui n’est augmentée ou diminuée que d’une autre quantité infiniment moindre qu’elle, puisse être considérée comme demeurant la même,“ de l’Hospital, Analyse, p. 2.Google Scholar
  20. 20.
    Varignon also calls this concept “vitesse instantanée;’ AM, 17o1 (1708), p. 224. I nevertheless prefer to speak of the velocity at each instant; for Varignon interprets the expression dx/dt not as a derivative but rather as a quotient. See especially A.Ac.Sc. Registres, xvII, fol. 386r°.Google Scholar
  21. 21.
    “Remarque [ ... ] cependant chaque vitesse instantanée est égale et uniforme en elle-même, parce qu’en supposant qu’elle répond à un instant infiniment petit, elle ne peut avoir pendant cet instant infiniment petit, qu’une variation infiniment petite, et par conséquent nulle par rapport à la variation qui arrive dans un temps fini,” Varignon, Traité du mouvement, p. 22.Google Scholar
  22. 22.
    “Quelles que soient presentement la vitesse d’un corps (accelerée, retardée, en un mot variée comme on voudra), l’espace parcouru, et le temps employé a le parcourir; deux de ces trois choses e21tant données a discretion, il sera toujours facile de trouver la troisiême par le moyen de cette regle, même dans les variations de vitesse les plus bisarres qui se puissent imaginer;’ A.Ac.Sc. Registres, xvII, fol. 299r°-299v°.Google Scholar
  23. 23.
    A.Ac.Sc. Registres, xvII, fol. 386r°-391v°Google Scholar
  24. 24.
    “Le 5 juillet dernier (1698) je prouvay en general à l’Academie que de quelque variation de vitesse qu’un corps se meuve, ce qu’il en a à chaque instant, est toujours égal au quotient de ce qu’il parcourt alors d’espace divisé par cet instant. D’où je conclus qu’en prenant AB = x pour tout l’espace parcouru, les ordonnées Bc = y d’une courbe quelconque cc pour les vitesses a chaque point B de cet espace, et les ordonnées BE = z d’une autre courbe quelconque EE pour les temps employez a venir de A en B; l’on aura toujours dz = dxy ,” A.Ac.Sc. Registres, xvII, fol. 387r°.Google Scholar
  25. 25.
    See de l’Hospital, Analyse, p. 3.Google Scholar
  26. 26.
    “si au lieu de AB le corps se meut de même vitesse correspondante de AK (parallele aux ordonnées) en G le long d’une courbe quelconque GG, dont les ordonnées sont BG = v, pendant des temps exprimés par les ordonnées BH = s d’une autre courbe quelconque encore HH; il suit de même que l’on aura toujours ds = √/dx2+d√2 , ou en prenant a = I pour observer la boy des homogènes ds = Y Y √dx2 + dv2, dz se changeant icy en ds, et dx en v/dx2 + dv2;’ A.Ac.Sc. Registres, xvII, fol. 387r°.Google Scholar
  27. 27.
    In the period 1697–1698, Varignon had already worked on the problem of isochronous fall in the case of the reversed cycloid, but he had used a merely geometrical procedure that did not involveGoogle Scholar
  28. the concept of velocity at each instant.Google Scholar
  29. 28.
    The curve cc corresponds to the first diagram of velocities (see above, note 12).Google Scholar
  30. 29.
    “ [ ... ] si l’on substitue la valeur de y en x par l’équation donnée de la courbe cc et v encore en x par l’équation aussi donnée de la courbe GG, l’on aura en x et en s l’equation cherchée de la courbe HH dont les ordonnées BH (s) expriment les temps employez a venir de AK en G le long de la courbe GG,” A.Ac.Sc. Registres, xvII, fol. 387voGoogle Scholar
  31. 30.
    “Ces deux exemples suffIsent pour faire voir comment on se doit servir de la formule ds = Y √dx2 + dv2 pour trouver les temps employez a parcourir toutes sortes de courbes tant mecaniques que geometriques, quelque variée que soit la vitesse des corps qui les parcourent, n’y ayant qu’a substituer telle autre courbe qu’on voudra, au lieu de la parabole sur les ordonnées de laquelle on vient de regler ces vitesses pour s’acommoder a l’hypothese de Galilée touchant la chutte des corps. Non seulement la courbe des temps se peut ainsy trouver, celle des chemins et des vitesses etant données; mais encore chacune de celles-cy se trouvera, les deux autres etant données en operant comme dans les exemples de la Regle generale que je demontray le 5 juillet dernier a l’Academie: c’est pourquoy je ne my arreteray pas davantage;’ A.Ac.Sc. Registres, xvII, fol. 391r°-391v°.Google Scholar
  32. 31.
    See supra, note 7.Google Scholar
  33. 32.
    AM, 1700 (1703), pp. 22–27; A.Ac.Sc. Registres, xIx, fol. 31r°-37r°Google Scholar
  34. 33.
    AM, 1700 (1703), pp. 83—loI; A.Ac.Sc. Registres, xix, fol. 133v°-141V°.Google Scholar
  35. 34.
    AM,1700 (1703), pp. 218–237; A.Ac.Sc. Registres, xIx, fol.3600-3640Google Scholar
  36. 35.
    AM,1700 (1703), p. 22. The expression “force centrale” seems somewhat ambiguous, for nowhere does Varignon introduce a consideration of the mass.Google Scholar
  37. 36.
    “Le cinq juillet de 1698 je demontray a l’Academie une Règle generale pour toutes sortes de mouvemens varies a discretion, et telle qu’en prenant sur la figure presente (dont tous les angles rectilignes sont droits) AH pour tout l’espace parcouru, les ordonnées vK = VG d’une courbe quelconque, vB ou vK pour les vitesses à chaque point H de cet espace, et les ordonnées HT d’une autre courbe aussi quelconque TD pour les temps employés a venir de A en H; une de ces trois courbes etant donnée, l’on en deduira toujours les deux autres;’ A.Ac.Sc. Registres, xIx, fol. 31r°.Google Scholar
  38. 37.
    “Mais comme en cela je ne comprenois point alors la force vers c qu’a le corps en chaque point H, indépendamment de sa vitesse et que j’appelleray dorenavant force centrale a cause de sa tendance au point c comme center;’ Ibid. Google Scholar
  39. 38.
  40. 39.
    “Tous les angles rectilignes étant droits dans la figure que voicy, soient six courbes quelconques TD, vB, FM, vK, FN, Fo, dont les trois premières expriment par leur abscisse commune AH, l’espace parcouru par un corps quelconque mû comme l’on voudra le long de AC. Soit de même le temps employé à le parcourir, exprimé par l’ordonné correspondante HT de la courbe TD; la vîtesse de ce corps en chaque point H, par les ordonnées aussi correspondantes vH, VG, des courbes vB, vK; ce qu’il a de force vers D, à chaque point H, indépendamment de sa vîtesse (je l’appelleray dorénavant Force centrale à cause de sa tendance au point c comme centre), s’exprimera de même par les ordonnées correspondantes encore FH, FG, FE, des courbes FM, FN, Fo,’ AM, 1700 (1703), p. 22.Google Scholar
  41. 4.
    4o “la courbe TD, à laquelle les ordonnées HT se terminent en T, s’appellera la courbe des temps [ ... ] . Les deux courbes vB, vK, auxquelles les ordonnées correspondantes et égales vH, vG, se terminent en v, s’appelleront les courbes des vitesses,” Ibid., p. 23.Google Scholar
  42. 41.
    “Enfin les trois courbes FM, FN, Fo, auxquelles les ordonnées correspondantes encore et égales FH, FG, FE, se terminent en F, s’appelleront les courbes des forces,’ Ibid. Google Scholar
  43. 42.
    ... ] soient les espaces parcourus AH = x, les temps employés à les parcourir HT = AG = t, les vîtesses en H (que j’appelleray finales) Hv = AE = GV = v, les forces centrales correspondantes HF =EF=GF=y,’Ibid. Google Scholar
  44. 43.
    “De là on aura dx pour l’espace parcouru comme d’une vitesse uniforme v, à chaque instant; dv pour l’accroissement de vitesse qui s’y fait; ddx pour ce qui se parcourt d’espace en vertu de cet accroissement de vîtesse; et dt pour cet instant. A ce compte, la vîtesse ne consistant que dans un rapport d’espace parcouru d’un mouvement uniforme, au temps employé à le parcourir; l’on aura déjà v = dtt pour une première Règle, laquelle donnera dv = ddX en faisant dt constante;’ Ibid. By “faisant dt constante;’ Varignon merely makes use of a procedure current at the time of Leibnizian calculus. On this issue, see Bos e.a. (eds.), “Differentials.“Google Scholar
  45. 44.
    See also Aiton, “The Inverse Problem’,” p. 86, note 17.Google Scholar
  46. 45.
    “De plus les espaces parcourus par un corps mû d’une force constante et continuellement appliquée, telle qu’on conçoit d’ordinaire la pesanteur, étant en raison composée de cette force et des quarrés des temps employés à les parcourir; l’on aura aussi ddx = ydt2, ou = ddz = Ce q Ps employes a lesP Y y dt dtt qui fait encore une Règle y = dt , qui avec la précédente v = dt , satisfait à tout ce qu’on se propose icy de résoudre;’ AM, 1700 (1703), p. 23.Google Scholar
  47. 46.
    Newton, Mathematical Principles [Motte, Cajori], pp. 34–35.Google Scholar
  48. 47.
    Ibid., p. 35.Google Scholar
  49. 48.
    AM, 1700 (1703), p. 23.Google Scholar
  50. 49.
    “ [ . . . ] d’après ces formules, toutes les questions relatives à cette théorie préliminaire du mouvement varié se réduiront immédiatement à de simples recherches analytiques, qui consisteront ou dans des différentiations, ou, le plus souvent, dans des integrations,” Comte, Philosophie première, dix-septième leçon, p. 268.Google Scholar
  51. 5.
    5o “Usage. Je dis présentement qu’une des six courbes cy-dessus, étant donnée à discrétion, on pourra toujours en déduire les cinq autres par le moyen de ces deux Règles, supposé les résolutions et les intégrations nécessaires des égalités en question,” AM, 1700 (1703), p. 23.Google Scholar
  52. 51.
    “Les mêmes choses se trouveront de la même manière dans toute autre hypothèse; il n’y aura de différence que la difficulté du calcul, laquelle n’auroit fait qu’embarasser icy. Ainsi ces deux exemples suffisent;’ Ibid., p. 26.Google Scholar

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© Springer Science+Business Media Dordrecht 2004

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  • Michel Blay

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