Abstract
This article in French, with a large English introduction, is a survey about applications of bi-quantization theory in Lie theory. We focus on a conjecture of M. Duflo. Most of the applications are coming from our article with Alberto Cattaneo [Cattaneo, A.S., Torossian, C.: Quantification pour les paires symétriques et diagrammes de Kontsevich. Ann. Ecole Norm. Sup. 41, 787–852 (2008)] and some extensions are relating discussions with my student [Batakidis, P.: Phd-Thesis. Univ. Paris 7 (2009)]. The end of the article is completely new. We prove that the conjecture E = 1 implies the Kashiwara–Vergne conjecture. Our deformation is nongeometric but uses a polynomial deformation of the coefficients.
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Notes
- 1.
Consider the local expression around the origin.
- 2.
Consider the following example; G is reductive H = U the unipotent radical of a Borel. Let \(\mathfrak{t}\) be a Cartan subalgebra. Then you get \({(U(\mathfrak{g})/U(\mathfrak{g}) \cdot \mathfrak{h})}^{\mathfrak{h}} = S(\mathfrak{t}) = {(S(\mathfrak{g})/S(\mathfrak{g}) \cdot \mathfrak{h})}^{\mathfrak{h}}\). These algebras are commutative. The space G ∕ U is quasi-affine.
- 3.
A boundary term, which was overlooked in previous publications, has to be added to several of the expressions in Sections 3.4 and 4.1 to 4.4. The determination of this term will be found in a paper by A. Cattaneo, C. Rossi and C. Torossian, in preparation.
- 4.
This is the double \((\mathfrak{g} \times \mathfrak{g},\mathrm{ diagonal})\).
- 5.
Par graphe étiqueté on entend un graphe Γ muni d’un ordre total sur l’ensemble E Γ de ses arêtes, compatible avec l’ordre des sommets.
- 6.
La formule de Dynkin n’utilise que des crochets itérés.
- 7.
Un terme de bord, qui aurait dû apparaître dans des publications précédentes, doit être ajouté à plusieurs des expressions ci-dessous et dans les Sections 4.1 à 4.4. La valeur de ce terme sera donnée dans un article de A. Cattaneo, C. Rossi et C. Torossian, en préparation.
- 8.
Comme on ne considère que des structures de Poisson linéaires, on peut restreindre les constructions aux algèbres de fonctions polynomiales.
- 9.
On note [ ∙, ∙ ] G le crochet de Gerstenhaber.
- 10.
Il n’y a pas de terme pour n = 0 sauf pour μ1 o on trouve la multiplication m.
- 11.
Chaque couleur indiquera si la variable de dérivation est dans \({\mathfrak{h}}^{{_\ast}}\) ou \({\mathfrak{h}}_{-\lambda }^{\perp }\) et précisera la fonction d’angle.
- 12.
On a besoin ici de faire un choix d’un supplémentaire de \(\mathfrak{h}\), pour identifier \({\mathfrak{h}}^{{_\ast}}\)à un sous-espace de \({\mathfrak{g}}^{{_\ast}}\).
- 13.
On renvoie à [10] pour l’action sur les éléments de \(\mathrm{Poly}({\mathfrak{h}}_{-\lambda }^{\perp }) \otimes \wedge {\mathfrak{h}}^{{_\ast}}.\)
- 14.
A chaque arêtes colorés est associée la différentielle d’une des 4 fonctions d’angle ci-dessus.
- 15.
J’entends des fonctions avec composantes impaires.
- 16.
C’est à dire des roues colorées, attachées à des graphes de type Lie.
- 17.
Le plus grand idéal résoluble de \(\mathfrak{g}\), il est σ-stable.
- 18.
On dit que \((\mathfrak{g},\sigma )\) est une paire symétrique quadratique.
- 19.
Les formules proposées dans [26] ne sont pas correctes.
- 20.
On notera qu’il faut prendre les invariants du corps des fractions et non pas le corps des fractions des invariants.
- 21.
On peut prendre une polarisation construite par M. Vergne.
- 22.
Ici χ est le caractère de différentielle iλ.
- 23.
Une conjecture raisonnable semble que le corps des fractions de la limite classique contient \({\mathcal{S}}_{\lambda }\).
- 24.
Ces hypothèses d’intégrabilité compliquent la théorie en général.
- 25.
En général de telle mesure n’existe pas, il faut alors travailler sur des fibrés en droite, cf. Introduction.
- 26.
Le cas nilpotent sera traité dans la thèse de P. Batakidis [7].
- 27.
On note [ ∙, ∙ ] S le crochet de Schouten-Nijenhuis.
- 28.
C’est la résolvante de l’équation différentielle.
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Torossian, C. (2011). Applications de la bi-quantification à la théorie de Lie. In: Cattaneo, A., Giaquinto, A., Xu, P. (eds) Higher Structures in Geometry and Physics. Progress in Mathematics, vol 287. Birkhäuser, Boston, MA. https://doi.org/10.1007/978-0-8176-4735-3_15
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