Solitons elliptiques

Résumé

Dans ce mémoire nous étudions les solutions de l’équation de Korteweg-de Vries (KdV):

$${u_t} = 6u{u_x} - {u_{xxx}}$$

où u(x,t) est une fonction à valeurs complexes, méromorphe dans C × U où U est un voisinage ouvert connexe de zéro, et doublement périodique par rapport à un réseau A ⊂ Cℂ en la variable x ∈ ℂ. Cette étude a été commencée dans l’article [1] de H. Airault, H.P. McKean et J. Moser dont nous utilisons les résultats. Notons X la courbe elliptique ℂ/A, ∂/∂x l’image sur X du champ de vecteurs tangents canonique sur ℂ, et interprétons les fonctions périodiques par rapport à Λ comme des fonctions sur X. Les solutions de KdV du type décrit ci-dessus sont appelées dans ce travail des soldons elliptiques de base X de l’équation KdV ou simplement, lorsqu’aucune confusion n’en résulte, des solitons elliptiques. Une fonction méromorphe υ sur X est appelée un potentiel hyperelliptique de l’équation KdV ou plus simplement potentiel hyperelliptique s’il existe un soliton elliptique (x,t) ↦ u(x,t) tel que u(x,0) = υ(x).

Cet article fini en Mai 1989, s’inscrit dans un programme de recherche sur les solitons elliptiques en 1986. Cette période de travail avec J.-L. Verdier (côte à côte, par lettre, par “bitnet” ou par téléphone) fut pour moi aussi riche et intense qu’agréable. Il s’acharna, à tout m’apprendre, tout en me considérant son collaborateur plus que son élève.

C’est avec beaucoup de tristesse que nous avons appris le décès de Jean-Louis Verdier, survenu accidentellement le 25 Août 1989. Le Comité editorial.