Jacobiennes généralisées globales relatives

Abstrait

Le résultat principal de ce travail est la construction des jacobiennes généralisées ((J_n)(n ≥ 0), (Φ_n)(n ≥ 0)) pour une S-courbe relative X, munie d’une compactification convenable, et de l’isomorphisme

$$ \mathop {\lim }\limits_{\vec n} HomS - gr(J_n^ \cdot,G) \simeq G(X), $$

pour tout S-schéma en groupes commutatif et lisse G. L’énoncé de ce résultat est donné sous forme conjecturale dans une lettre du 9/8/1960 adressée par A. Grothendieck à J.P. Serre. On obtient ainsi l’extension naturelle au cas relatif de la théorie de Rosenlicht-Serre, et on achève la première étape d’un programme de travail proposé à l’auteur par A. Grothendieck. Il s’agit d’établir une formule de dualité générale pour une courbe relative lisse X à coefficients dans un S-schéma en groupes G commutatif et plat, qui doit correspondre à celle prouveée dans [15], Exp. n°XVIII, dans le cas d’une courbe relative propre et lisse. L’aspect local de cette formule mène à la construction des jacobiennes locales des courbes formelles, et à leur propriété de factorisation universelle (cf. [3] bis) qui étend la théorie des symboles locaux au cas relatif.