Frises et mosaïques

Ce chapitre présente la classification des frises et quelques concepts reliés aux mosaï -ques. La première section introduit les opèrations laissant une frise inchangée de façon intuitive et géométrique. Elle présente ce que seront les étapes de la preuve du théorème de classification des frises. La section 2.2 introduit les transformations affines (et leur représentation matricielle) et les isometries. La section 2.3 conclut la preuve du théorème de classification. La dernière section parle, d'une façon beaucoup plus succincte, des mosaïques. La preuve du théorème de classification (section 2.3) est la section la plus difficile. Les sections 2.1 et 2.4 peuvent être couvertes en trois heures; les outils seront alors purement géométriques, et les étudiants auront une idée de la preuve. Il faut au moins quatre heures pour couvrir les trois premieres sections. Quel que soit le matériel choisi, il est conseille de se munir de deux copies sur support transparent des frises de la figure 2.2; leur projection sur un écran permet de comprendre rapidement les diverses opérations de symétrie en jeu. Seules des connaissances en algébre linéaire et en géométrie euclidienne sont nécessaires à la lecture de ce chapitre. La preuve du théoréme de classification requiert une habitude du raisonnement abstrait.

Ce sujet offre plusieurs pistes attrayantes pour poursuivre l'exploration: les pavages apériodiques (fin de la section 2.4) en sont une, les exercices 13, 14, 15 et 16 en proposent d'autres.