Analisi nel dominio del tempo dei modelli ingresso-uscita

Riassunto

In questo capitolo si studieranno i sistemi SISO, lineari, stazionari e a parametri concentrati, descritti da un modello ingresso-uscita: tale modello consiste in una equazione differenziale ordinaria e lineare a coefficienti costanti. Le tecniche di analisi che si presentano in questo capitolo sono basate sull’integrazione diretta dell’ equazione differenziale: si parla in tal caso di analisi nel dominio del tempo o di analisi in t.

Nella prima sezione si definisce il problema fondamentale dell’analisi dei sistemi, che consiste nel determinare il segnale di uscita che soddisfa un modello dato. Grazie alla linearità del sistema sarà possibile scomporre tale soluzione nella somma di due termini: l’evoluzione libera, che dipende dalle sole condizioni iniziali, e l’evoluzione forzata, che dipende dalla presenza di un ingresso non nullo. Nella seconda sezione si studia preliminarmente l’equazione omogenea associata ad un modello dato: ciò permette di definire dei particolari segnali detti modi che caratterizzano l’evoluzione propria del sistema. Nella terza sezione si studia l’evoluzione libera che si dimostra essere una combinazione lineare di modi. Nella quarta sezione si affronta nel dettaglio l’analisi modale, studiando e classificando tali segnali. Nella quinta sezione viene presentata una particolare risposta forzata, detta risposta impulsiva: essa è la risposta forzata che consegne all’applicazione di un impulso unitario; la sua importanza nasce dal fatto che essa è un regime canonico, ovvero la conoscenza analitica di tale segnale equivale alla conoscenza del modello del sistema. In conseguenza di ciò, nella sesta sezione si presenta un importante risulto, l’integrale di Duhamel: esso afferma che l’evoluzione forzata che consegue ad un qualunque segnale di ingresso si può determinare mediante convoluzione tra l’ingresso stesso e la risposta impulsiva. Infine, nella settima sezione si introduce un famiglia di segnali canonici che si possono ottenere a partire dalla risposta impulsiva per integrazione o derivazione successive.