Gemeinsame Verteilung und Grenzwertsätze

Zusammenfassung

Im Kapitel 2 wurde jeweils eine Zufallsvariable und ihre Verteilung behandelt. Für die meisten Anwendungen der Wahrscheinlichkeitsrechnung ist es jedoch erforderlich, mehrere Zufallsvariable simultan zu betrachten, denn bei einem Zufallsvorgang interessiert häufig nicht nur ein Merkmalswert des Ergebnisses, sondern deren mehrere. So werden bei einer Umfrage auf Stichprobenbasis Personen oder Haushalte zufällig ausgewählt und nach bestimmten Merkmalen befragt. Dabei entspricht die ausgewählte Person (oder der ausgewählte Haushalt) dem Ergebnis ω eines Zufallsexperiments. Die bei ω erhobenen Werte der Merkmale entsprechen den Werten von Zufallsvariablen, beispielsweise X(ω) dem verfügbaren Einkommen, Y(ω) den Freizeitausgaben und Z(ω) den Ausgaben für Wohnung des Haushalts ω. Als weiteres Beispiel seien Lebensalter X(ω) und erzielte Note Y(ω) eines zufällig ausgewählten Studierenden ω beim Bestehen der Statistikklausur genannt.

In der schließenden Statistik hat man es regelmäßg mit mehreren Zufallsvariablen zu tun. Dabei werden aus den beobachteten Realisationen wiederholter, gleichartiger Zufallsvorgänge Schlussfolgerungen gezogen.

Mehrere an derselben Beobachtungseinheit beobachtete Zufallsvariable fasst man zu einem Zufallsvektor (man sagt auch: zu einer multivariaten Zufallsvariablen) zusammen. Die hierfür benötigten Begriffe führen wir im Abschnitt 3.1 ein, jedoch nur so weit, wie sie zur Begründung der Rechenregeln für den Erwartungswert und die Varianz von Summen von Zufallsvariablen sowie für die Anwendungen in der schließenden Statistik erforderlich sind. Im Abschnitt 3.2 werden zwei für die schließenden Statistik grundlegende Grenzwertsätze dargestellt, nämlich das Schwache Gesetz der großen Zahlen und der Zentrale Grenzwertsatz. Ergänzt wird das Kapitel durch kurze Einführungen in die multivariate Normalverteilung, den Poisson-Prozess und die Monte-Carlo-Simulation.