Advertisement

Linear interval equations

  • A. Neumaier
Conference paper
Part of the Lecture Notes in Computer Science book series (LNCS, volume 212)

Abstract

This is a short survey of theory and techniques for the solution of linear interval equations with square or rectangular coefficient matrix.

Keywords

Gauss Elimination Interval Arithmetic Interval Vector Interval Matrix Dominant Matrice 
These keywords were added by machine and not by the authors. This process is experimental and the keywords may be updated as the learning algorithm improves.

Preview

Unable to display preview. Download preview PDF.

Unable to display preview. Download preview PDF.

References

  1. 1.
    G. Alefeld, Das symmetrische Einzelschrittverfahren bei linearen Gleichungen mit Intervallen als Koeffizienten, Computing 18, 329–340 (1977).Google Scholar
  2. 2.
    G. Alefeld, Über die Durchführbarkeit des Gaußschen Algorithmus bei Gleichungen mit Intervallen als Koeffizienten, Computing Suppl. 1, 15–19 (1977).Google Scholar
  3. 3.
    G. Alefeld, Intervallanalytische Methoden bei nichtlinearen Gleichungen, Jahrbuch Überblicke Mathematik 1979, (ed. S.D. Chatterji et al.), Bibl. Inst., Mannheim-Wien-Zürich, 63–78 (1979).Google Scholar
  4. 4.
    N. Apostolatos und U. Kulisch, Grundzüge einer Intervallrechnung für Matrizen und einige Anwendungen, Elektron. Rechenanlagen 10, 73–83 (1968).Google Scholar
  5. 5.
    W. Barth und E. Nuding, Optimale Lösung von Intervallgleichungssystemen, Computing 12, 117–125 (1974).Google Scholar
  6. 6.
    H. Beeck, Über Struktur und Abschätzungen der Lösungsmenge von linearen Gleichungssystemen mit Intervallkoeffizienten, Computing 10, 231–244 (1972).Google Scholar
  7. 7.
    H. Beeck, Zur scharfen Außenabschätzung der Lösungsmenge bei linearen Intervallgleichungssystemen, Z. Angew. Math. Mech. 54, T208–T209 (1974).Google Scholar
  8. 8.
    H. Beeck, Zur Problematik der Hüllenbestimmung von Intervallgleichungssystemen, ‘Interval Mathematics', (ed. K. Nickel), Lecture Notes in Computer Science 29, Springer Verlag, 150–159 (1975).Google Scholar
  9. 9.
    H. Cornelius, Untersuchungen zu einem intervallarithmetischen Iterationsverfahren mit Anwendungen auf eine Klasse nichtlinearer Gleichungssysteme, Dissertation, Techn. Univ. Berlin (1981).Google Scholar
  10. 10.
    A. S. Deif, to be published.Google Scholar
  11. 11.
    I. S. Duff, A. M. Erisman, C. W. Gear, and J. K. Reid, Some remarks on inverses of sparse matrices, Techn. Memorandum 51, Math. Comp. Sci. Div., Argonne Nat. Lab., Argonne, Illinois (1985).Google Scholar
  12. 12.
    D. M. Gay, Solving interval linear equations, SIAM J. Numer. Anal. 19, 858–870 (1982).CrossRefGoogle Scholar
  13. 13.
    W. Hahn, K. Mohr, and U. Schauer, Some techniques for solving linear equation systems with guarantee, Computing 34, 375–379 (1985).Google Scholar
  14. 14.
    E. Hansen and S. Sengupta, Bounding solutions of systems of equations using interval analysis, BIT 21, 203–211 (1981).Google Scholar
  15. 15.
    E. Hansen and R. Smith, Interval arithmetic in matrix computations, Part II, SIAM J. Numer. Anal. 4, 1–9 (1967).CrossRefGoogle Scholar
  16. 16.
    K.-U. Jahn, Eine Theorie der Gleichungssysteme mit Intervallkoeffizienten, Z. Angew. Math. Mech. 54, 405–412 (1974).Google Scholar
  17. 17.
    G. Kopp, Die numerische Behandlung von reellen linearen Gleichungssystemen mit Fehlererfassung für M-Matrizen sowie für diagonaldominante und invers-isotone Matrizen, Diplomarbeit, Inst. f. Prakt. Math. Univ. Karlsruhe (1976).Google Scholar
  18. 18.
    R. Krawczyk Newton-Algorithmen zur Bestimmung von Nullstellen mit Fehlerschranken, Computing 4, 187–201 (1969).Google Scholar
  19. 19.
    R. Krawczyk and A. Neumaier, Interval Newton operators for function strips, Freiburger Intervall-Berichte 85(7), 1–34 (1985).Google Scholar
  20. 20.
    G. Mayer, Enclosing the solution set of linear systems with inaccurate data by iterative methods based on incomplete LU-decompositions, Computing 35, 189–206 (1985).Google Scholar
  21. 21.
    G. Mayer, Comparison theorems for an iterative method based on strong splittings, to appear.Google Scholar
  22. 22.
    O. Mayer, Über intervallmäßige Iterationsverfahren bei linearen Gleichungssystemen und allgemeineren Intervallgleichungssystemen, Z. Angew. Math. Mech. 51, 117–124 (1971).Google Scholar
  23. 23.
    A. Neumaier, New techniques for the analysis of linear interval equations, Linear Algebra Appl. 58, 273–325 (1984).CrossRefGoogle Scholar
  24. 24.
    A. Neumaier, Further results on linear interval equations, Freiburger Intervall-Berichte 85(4), 37–72 (1985).Google Scholar
  25. 25.
    A. Neumaier, Overestimation in linear interval equations, Freiburger Intervall-Berichte 85(4), 75–91 (1985).Google Scholar
  26. 26.
    W. Oettli and W. Prager, Compatibility of approximate solution of linear equations with given error bounds for coefficients and right-hand sides, Numer. Math. 6, 405–409 (1964).CrossRefGoogle Scholar
  27. 27.
    K. Reichmann, Ein hinreichendes Kriterium für die Durchführbarkeit des Intervall-Gauß-Algorithmus bei Intervall-Hessenbergmatrizen ohne Pivotsuche, Z. Angew. Math. Mech. 59, 373–379 (1979).Google Scholar
  28. 28.
    K. Reichmann, Abbruch beim Intervall-Gauß-Algorithmus, Computing 22, 355–361 (1979).Google Scholar
  29. 29.
    F. N. Ris, Interval analysis and applications to linear algebra, D. Phil. Thesis, Oxford (1972).Google Scholar
  30. 30.
    J. Rohn, An algorithm for solving interval linear systems and inverting interval matrices, Freiburger Intervall-Berichte 82(5), 23–36 (1982).Google Scholar
  31. 31.
    J. Rohn, Solving interval linear systems; Proofs to 'solving interval linear systems'; Interval linear systems, Freiburger Intervall-Berichte 84(7), 1–14, 17–30, 33–58 (1984).Google Scholar
  32. 32.
    J. Rohn, Some results on interval linear systems, Freiburger Intervall-Berichte 85(4), 93–116 (1985).Google Scholar
  33. 33.
    S. M. Rump, Solving algebraic problems with high accuracy, ‘A new approach to scientific computation', (ed. U. W. Kulisch and W. L. Miranker), Academic Press, New York, 51–120 (1983).Google Scholar
  34. 34.
    F. Schätzle, Überschätzung beim Gauß-Algorithmus für lineare Intervallgleichungssysteme, Freiburger Intervall-Berichte 84(3), (1984).Google Scholar
  35. 35.
    H. Schwandt, Schnelle fast global konvergente Verfahren für die Fünf-Punkt-Diskretisierung der Poissongleichung mit Dirichletschen Randbedingungen auf Rechteckgebieten, Dissertation, Techn. Univ. Berlin (1981).Google Scholar
  36. 36.
    H. Schwandt, An interval arithmetic approach for the construction of an almost globally convergent method for the solution of the nonlinear Poisson equation on the unit square, SIAM J. Sci. Statist. Comput. 5, 427–452 (1984).CrossRefGoogle Scholar
  37. 37.
    H. Schwandt, Krawczyk-like algorithmus for the solution of systems of nonlinear equations, SIAM J. Numer. Anal. 22, 792–810 (1985).CrossRefGoogle Scholar
  38. 38.
    J. M. Shearer and M. A. Wolfe, Some algorithms for the solution of a class of nonlinear algebraic equations, Computing 35, 63–72 (1985).Google Scholar
  39. 39.
    P. Spellucci und N. Krier, Untersuchungen der Grenzgenauigkeit von Algorithmen zur Auflösung linearer Gleichungssysteme mit Fehlererfassung, ‘Interval Mathematics', (ed. K. Nickel), Lecture Notes in Computer Science 29, Springer Verlag, 288–297 (1975).Google Scholar
  40. 40.
    P. Wongwises, Experimentelle Untersuchungen zur numerischen Auflösung von linearen Gleichungssystemen mit Fehlererfassung, ‘Interval Mathematics', (ed. K. Nickel), Lecture Notes in Computer Science 29, Springer Verlag, 316–325 (1975).Google Scholar

Copyright information

© Springer-Verlag Berlin Heidelberg 1986

Authors and Affiliations

  • A. Neumaier
    • 1
  1. 1.Institut für Angewandte MathematikUniversität FreiburgFreiburg i. Br.West Germany

Personalised recommendations