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Über Netzwerkgrössen höherer Ordnung und die mittlere Anzahl der in Netzwerken benutzten operationen

  • C. Reynvaan
  • C. -P. Schnorr
Vorträge In Der Reihenfolge Des Programms
Part of the Lecture Notes in Computer Science book series (LNCS, volume 48)

Abstrakt

Aufbauend auf dem Begriff der Größe eines Netzwerkes ß führen wir weitere Komplexitätsmaße für Netzwerke ein, welche die strukturelle Kompliziertheit eines Netzwerkes ausdrücken. Angewandt auf Boolesche Funktionen drücken diese Komplexitätsmaße neue interessante Eigenschaften aus, welche eng mit der Größe und der Rechenzeit von Turing-Programmen zusammenhängen.

Wir beschreiben ein Netzwerk ß durch eine Funktion g, die jedem Knoten ν von ß seine Operation und seine Vorgängerknoten zuordnet. g wird als Boolesche Funktion kodiert und hat somit eine wohldefinierte Netzwerkgröße C1(g). Die Netzwerkgröße C1(ß), C1(f) von Netzwerken und Booleschen Funktionen f kann man nun wie folgt iterieren:
$$\begin{gathered}C_{k + 1} (\beta ) = \min \{ C_k (g)|gbeschreibt\beta \} \hfill \\C_{k + 1} (f) = \min \{ C_{k + 1} (\beta )|\beta berechnetf\} \hfill \\\end{gathered} $$
Wir zeigen für n-stellige f: Ck+1(f) ≤ Ck(f)(1+o(n)/n). Für jedes Turing-Programm P, welches f berechnet, gilt:
$$C_k (f) \leqslant o(\left\| P \right\| + lg^{k - 1} {\rm T}_p ).$$
Dabei ist ‖P‖ die Anzahl der Anweisungen und TP die Rechenzeit von P. lgk ist der k-fach iterierte Logarithmus.

Zu einem Netzwerk ß sei AV(ß)die Anzahl der im Mittel (average) bzgl. aller Eingaben benutzten Knoten. Zu einer Booleschen Funktion f betrachten wir die minimale Anzahl der im Mittel bei einem Netzwerk zu f benutzten Knoten: AV(f):= min{AV(ß) | ß berechnet f}. AV(f) steht in enger Beziehung zur mittleren Rechenzeit von Turing-Programmen.

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Copyright information

© Springer-Verlag Berlin Heidelberg 1977

Authors and Affiliations

  • C. Reynvaan
  • C. -P. Schnorr

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