La fonction cotangente et l’astuce de Herglotz

Abstrait

Parmi les formules qui contiennent des fonctions élémentaires, quelle est la plus intéressante? Dans un bel article [2], dont nous suivons de près l’exposé, Jürgen Elstrodt met à la première place le développement en série de la fonction cotangente:

Cette élégante formule a été démontrée par Euler au §178 de son Introductio in Analysin Infinitorum. Elle compte à coup sûr parmi ses plus beaux résultats. On peut aussi l’écrire encore plus élégamment de la manière suivante:

$$ \pi \cot \pi x = \mathop {\lim }\limits_{N \to \infty } \sum\limits_{n = - N}^N {\frac{1} {{x + n}}} $$

(1)

mais il faut remarquer que l’évaluation de la somme $\sum\nolimits_{n \in \mathbb{Z}} {\tfrac{{\text{1}}} {{x{\text{ + }}n}}}$ est un peu dangereuse puisque la série n’est pas absolument convergente, et sa valeur est donc subordonnée à un choix judicieux de l’ordre de sommation.