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Untersuchungen über allgemeine Metrik. Vierte Untersuchung. Zur Metrik der Kurven.

  • Karl Menger
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Zusammenfassung

Bei einer der klassischen Definitionen der Bogenlänge geht man folgendermaßen vor: Man setzt, wenn ein Bogen B zwischen den Punkten a und c gegeben ist, auf B einen Richtungssinn fest, etwa von a nach c. Man ordnet sodann, wenn E eine endliche, etwa n Punkte enthaltende Teilmenge von B ist, die Punkte von E in jene Reihenfolge, in welcher sie bei der Durchlaufung von B in der festgesetzten Richtung angetroffen werden, und numeriert sie in dieser Reihenfolge mit b1, b2,…,bn. Man bildet hierauf, wenn bibi+1 den Abstand der Punkte bi und bi+1 bezeichnet, die Zahl l(E, B)
$$ = \,\sum\limits_{i = 1}^{n - 1} {{b_i}} {b_{i + 1}}$$
und erklärt als Länge des Bogens B die Zahl o.S.l(E,B), d.h. die obere Schranke aller Zahlen l(E,B), wo
$$E \subset |B$$
E alle endlichen Teilmengen von B durchläuft.

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© Springer-Verlag Wien 2002

Authors and Affiliations

  • Karl Menger
    • 1
  1. 1.WienAustria

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